Eşitliğin Korunumu ve İşlem Özellikleri

⚖️

Eşitlik ne anlatır?

Eşitlik, iki sayı cümlesinin aynı değeri gösterdiğini belirtir. Eşitlik işareti (=) yalnızca “sonuç geliyor” anlamında değil, iki tarafın aynı değerde olduğunu gösteren bir ilişkidir.

Örneğin \(8+4=12\) eşitliğinde sol tarafın değeri 12, sağ tarafın değeri de 12'dir. Eşitliğin iki tarafında da aynı işlem uygulandığında bu ilişki korunabilir.

8+4=12 \qquad\Longrightarrow\qquad (8+4)+5=12+5

Genelleme: Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik korunur. İki taraf aynı sayı ile çarpılırsa ya da 0 dışında aynı sayıya bölünürse de eşitlik korunur.

🔄

Toplama ve çarpma işlemlerinde özellikler

Değişme özelliği

Toplananların veya çarpanların yerleri değişse de sonuç değişmez.

7+13=13+7\)\(4\times6=6\times4

Birleşme özelliği

Üç veya daha fazla sayı toplanırken ya da çarpılırken gruplama değişse de sonuç değişmez.

(2+5)+8=2+(5+8)\)\((2\times5)\times4=2\times(5\times4)

🧩

Çarpmanın dağılma özelliği

Çarpanlardan birini iki sayının toplamı şeklinde parçalara ayırıp her parçayı diğer çarpanla çarparak sonuçları toplayabiliriz. Çıkarma ile de benzer biçimde parçalayabiliriz.

7\times(5+3)=7\times5+7\times3\]\[7\times(10-2)=7\times10-7\times2

Bu özellik, özellikle zihinden işlem yaparken işe yarar.
Örneğin, 8 ile 19'u zihinden daha kolay çarpmak için şu yöntemleri kullanabiliriz:
\(8\times19=8\times(20-1)=(8\times20)-(8\times1)=160-8=152\)
\(8\times19=(10-2)\times19=(10\times19)-(2\times19)=190-38=152\)
\(8\times19=8\times(10+9)=(8\times10)+(8\times9)=80+72=152\)

🔎

Öğrenme hedefi

Bu etkinlikte amaç yalnızca işlemleri yapmak değil; sayı cümlelerini karşılaştırmak, bir varsayım oluşturmak, örneklerle denemek ve sonunda sözlü ya da sembolik bir önerme ile düşünceni doğrulamaktır.

İşlem yapmadan iki tarafın ilişkisini incele.
“Her zaman böyle mi?” sorusunu sor.
Farklı sayılarla deneme yap.
Sonucunu matematiksel bir cümleyle ifade et.

⚖️

Eşitlik terazisini dene

Terazinin iki tarafında başlangıçta aynı değer vardır. Aşağıdaki düğmelerle iki tarafa aynı değişikliği uygula. Sonucun değişip değişmediğini gözlemle.

Sol taraf

⚖️

Sağ taraf

12 = 12 → eşitlik korunuyor.

🧠

Varsayımını oluştur

Aşağıdaki eşitlikleri hesaplamadan incele. Sence hangi değişiklik eşitliği korur?

\(18+7=25\) ise \(18+7+9=25+9\) olur mu?

\(6\times5=30\) ise \(6\times5+4=30+2\) olur mu?

🔄

Özelliği seç

Sayı cümlesinde hangi özelliğin kullanıldığını belirle.

\(23+17=17+23\)

📦

Gruplamayı değiştir

Bir kolide 20 kutu, her kutuda 10 paket ve her pakette 25 bisküvi olduğunu düşün. Toplam bisküvi sayısını bulmak için önce hangi iki sayıyı çarpmamız gerekir? Gerçekten o sırada çarpmak zorunda mıyız?

(20\times10)\times25=200\times25=5000\]\[20\times(10\times25)=20\times250=5000\]\[(20\times25)\times10=500\times10=5000

Çarpmanın birleşme özelliği, çarpanların hangi ikisinin önce gruplanacağının sonucu değiştirmediğini gösterir.

🧩

Dikdörtgen modeliyle dağılma

Aşağıdaki modelde 8 sütunda toplam kaç tane kare olduğunu bulmak için, 5 sütun ve 3 sütun olarak iki parçaya ayırıyoruz.

7 × 5

7 × 3

7\times8=7\times(5+3)=(7\times5)+(7\times3)=56

Toplam kare sayısını farklı gruplandırmak da sonucu değiştirmeyecektir. Bu, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini modellemenin bir yoludur.

🔍

Varsayımı deneme

“Bir çarpanın yarısını alıp diğer çarpanı iki katına çıkarınca sonuç değişmez.” varsayımının doğru olup olmadığını örneklerle kontrol et.

8\times15=4\times30=120

Bu tür varsayımlarda tek bir örnek yeterli değildir. Farklı sayılar seçerek genellemeyi denemek matematiksel karar verebilme açısından çok önemlidir.

Örnek 1\(35+18\) ile \(18+35\) arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

Toplanan sayıların yerleri değiştirilmiştir.

Toplam değişmeyeceği için toplamanın değişme özelliği kullanılmıştır.

✓ \(35+18=18+35\)

Örnek 2\((3+7)+5\) ile \(3+(7+5)\) neden eşittir?

Toplananların gruplandırılması değiştirilmiştir.

Sayıların sırası aynı kaldığı hâlde önce hangi iki sayının toplandığı değişmiştir.

✓ Sonuç değişmez: toplamanın birleşme özelliği.

Örnek 3\(12\times19\) işlemini dağılma özelliğini kullanarak kolaylaştırınız.

\(12\)'yi \(10+2\) biçiminde parçala.

\((10+2)\times19=10\times19+2\times19\).

✓ \(190+38=228\)

Örnek 4\(2+3=7-2\) eşitliğinden yararlanarak iki tarafa 4 ekleyiniz.

Her iki tarafa aynı sayı, yani 4 eklenir.

\(2+3+4=7-2+4\).

✓ Eşitlik korunur.

📝

Kısa çalışma

1. Boşluğu doldur: \(27+14=\square+27\)

2. \(6\times(10+4)\) ifadesini dağılma özelliğiyle yaz.

3. “Çarpanların yerleri değişirse çarpım değişir.” Doğru mu, yanlış mı?

EŞİTLİK VE İŞLEM ÖZELLİKLERİ · 10 SORU1 / 10

PUAN

Doğru: 0

📋

Hızlı Özet

Eşitliğin korunumuEşitliğin iki tarafına aynı değişiklik uygulandığında eşitlik korunur.

DeğişmeToplananların veya çarpanların yerleri değişebilir; sonuç değişmez.

BirleşmeToplama ve çarpmada gruplama değişebilir; sonuç değişmez.

DağılmaÇarpanlardan biri parçalanarak ayrı ayrı çarpılıp toplanabilir veya çıkarılabilir.

🎯

Kendine Sor

⚖️ Eşitliğin Korunumu ve İşlem Özellikleri