5. SINIF MATEMATİK · 2. TEMA · MAT.5.2.1

Eşitliğin Korunumu ve İşlem Özellikleri

Eşitliğin korunumuna ve işlem özelliklerine yönelik çıkarım yapabilme

⚖️
Eşitlik ne anlatır?
Eşitlik, iki sayı cümlesinin aynı değeri gösterdiğini belirtir. “=” işareti yalnızca “sonuç geliyor” demek değildir; iki tarafın aynı değerde olduğunu gösterir.
8 + 4 = 12  ⟹  (8 + 4) + 5 = 12 + 5
Genelleme: Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse ya da her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik korunur. İki taraf, sıfır hariç aynı sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse eşitlik yine korunur.
🔄
Toplama ve çarpma işlemlerinde özellikler

Değişme özelliği

Toplananların ya da çarpanların yerleri değişse de sonuç değişmez.

7 + 13 = 13 + 7
4 × 6 = 6 × 4

Birleşme özelliği

Üç ya da daha fazla sayıda gruplama değişse de sonuç değişmez.

(2 + 5) + 8 = 2 + (5 + 8)
(2 × 5) × 4 = 2 × (5 × 4)

Çıkarma ve bölme işlemlerinde değişme ve birleşme özellikleri yoktur. Örneğin 9 − 4 ≠ 4 − 9.
🧩
Çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği
Çarpanlardan biri iki sayının toplamı ya da farkı biçiminde parçalanabilir. Her parça diğer çarpanla ayrı ayrı çarpılır ve sonuçlar toplanır ya da çıkarılır.
7 × (5 + 3) = 7 × 5 + 7 × 3
toplama üzerine dağılma
7 × (10 − 2) = 7 × 10 − 7 × 2
çıkarma üzerine dağılma

Bu özellik zihinden işlem yapmayı kolaylaştırır. Örneğin 8 × 19 = 8 × (20 − 1) = 160 − 8 = 152.

⚖️
Eşitlik terazisi

Terazinin iki kefesinde başlangıçta aynı değer var. Düğmelerle iki tarafa aynı işlemi uygula, sonra yalnızca bir tarafı değiştirip farkı gözle.

Sol
Sağ
📋
Toplamları 30 olan sayı ikilileri

Birinci toplananı değiştir; ikinci toplananın nasıl değiştiğini ve toplamın ne olduğunu gözle.

Bir toplanan artarken diğeri aynı miktarda azalırsa toplam değişmez.
🧠
Varsayımını oluştur (hesaplamadan)

Aşağıdaki eşitliklerin iki tarafını hesaplamadan incele. Eşitlik korunur mu?

18 + 7 = 25 ise 18 + 7 + 9 = 25 + 9 olur mu?
6 × 5 = 30 ise 6 × 5 + 4 = 30 + 2 olur mu?
2 + 3 = 7 − 2 ise (2 + 3) × 4 = (7 − 2) × 4 olur mu?
🔎
Hangi özellik?
🔀
Aynı sonuç, aynı özellik mi?

25 + 48 = 48 + 25 ile 25 + 48 = 45 + 28 sayı cümlelerini karşılaştır. İkisinde de eşitlik doğrudur. Peki ikisi de aynı özelliği mi gösterir?

25 + 48 = 45 + 28 sayı cümlesi için hangisi doğrudur?
📦
Çarpmada gruplamayı değiştir

Bir pakette 10 bisküvi var. 20 paket bir kutuya, 25 kutu bir koliye konuyor. Koli kaç bisküvi alır? Çarpanları farklı gruplayabilirsin.

🧩
Kareli kâğıtta dağılma (toplama)

Aşağıya çizilecek birim karelerin her satırda ve her sütunda kaçar tane olmasını istiyorsanız aşağıya yazın.
Kaçıncı sütundan sonra farklı bir renge boyayıp iki ayrı grup yapacaksak o sayıyı da üçüncü kutuya yazın.

×ayır:
➖
Çıkarma üzerine dağılma

Bir çarpanı fark biçiminde yazarak çarpmayı kolaylaştır: r × (m − j) = r × m − r × j.

×(−)
🧱
Birim küplerle dağılma
Ayrıtları 20, 10 ve 25 birim olan bir prizmanın içine yerleştirilen birim küpler iki renk olarak gruplanabilir:
(20 × 10) × 25 = (25 × 100) + (25 × 100) = 25 × (100 + 100) = 5 000
Böylece birleşme ve dağılma özellikleri birlikte görülür.
✅
Sayı cümleleri: doğru mu, yanlış mı?

Her sayı cümlesinin doğru olup olmadığına karar ver.

17 + 25 = 25 + 17
9 − 4 = 4 − 9
12 × 5 = 5 × 12
8 × (5 + 2) = 8 × 5 + 2
(4 + 6) + 9 = 4 + (6 + 9)
(20 ÷ 10) ÷ 2 = 20 ÷ (10 ÷ 2)
6 × (10 − 3) = 6 × 10 − 6 × 3
15 + 27 = 17 + 25
📝
Önermeni kur
Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eşitlik .
Bölünen sayı sıfır olmamalıdır.
🧪
Varsayımı sına: yarısı, iki katı
Varsayım: “Bir çarpma işleminde bir çarpanın yarısını alıp diğer çarpanı iki katına çıkarırsak sonuç değişmez.”

Önce çift bir sayı, sonra ikinci çarpanı yaz.

×
Bu varsayım için hangisi doğrudur?
✍️
Kendi problemini kur
Eşitliğin korunumunu ya da işlem özelliklerini kullanan gerçek bir problem yaz.
Örneğin: “Her birinde onikişer tane kalem bulunan poşetlerden 20 tanesi bir kutuya konuyor. Bu şekilde hazırlanan 25 kutuyu bir koliye koyuyoruz. Bir kolide kaç kalem vardır?”
Problemini arkadaşına sor ve kullandığın stratejiyi anlat.
📚
Çözümlü örnekler
Örnek 135 + 18 ile 18 + 35 arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
1
Toplananların yerleri değiştirilmiştir.
2
Toplam değişmediği için toplamanın değişme özelliği kullanılmıştır.
Cevap: 35 + 18 = 18 + 35
Örnek 2(3 + 7) + 5 ile 3 + (7 + 5) neden eşittir?
1
Toplananların gruplandırılması değişmiştir.
2
Sayıların sırası aynı kalır; yalnızca önce hangi iki sayının toplandığı değişir.
Cevap: Toplamanın birleşme özelliği
Örnek 312 × 19 işlemini dağılma özelliğiyle kolaylaştırınız.
1
12 sayısını 10 + 2 biçiminde parçalarız.
2
(10 + 2) × 19 = 10 × 19 + 2 × 19 = 190 + 38.
Cevap: 228
Örnek 42 + 3 = 7 − 2 eşitliğinin iki tarafına 4 ekleyiniz.
1
Her iki tarafa aynı sayı, 4, eklenir.
2
2 + 3 + 4 = 7 − 2 + 4.
Cevap: Eşitlik korunur.
Örnek 5(2 × 9) × 30 işlemini farklı gruplayarak ifade ediniz.
1
(2 × 9) × 30 = 18 × 30 = 540.
2
Aynı çarpım 4 × 9 × 15 = 540, 4 × 27 × 5 = 540 ve 20 × 27 = 540 ile de bulunur.
Cevap: Çarpanların farklı gruplanması çarpımı değiştirmez.
Örnek 68 × 19 işlemini çıkarma üzerine dağılma özelliğiyle yapınız.
1
19 sayısını 20 − 1 biçiminde yazarız.
2
8 × (20 − 1) = 8 × 20 − 8 × 1 = 160 − 8.
Cevap: 152
✏️
Çoktan seçmeli
Aşağıdakilerden hangisi çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğine örnektir?
6 × (10 + 4) ifadesinin dağılma özelliğiyle yazılışı hangisidir?
15 + 5 = 20 ise 15 + 5 − 3 = ?
✍️
Kısa cevaplı
27 + 14 = □ + 27 eşitliğinde □ kaçtır?
5 × (20 + 3) = 5 × □ + 5 × 3 eşitliğinde □ kaçtır?
12 × 19 = 12 × 20 − 12 × □ eşitliğinde □ kaçtır?
✅
Doğru mu, yanlış mı?
Çıkarma işleminde değişme özelliği vardır.
Çarpanların yerleri değişirse çarpım değişmez.
Eşitliğin iki tarafı sıfır hariç aynı sayıyla bölünürse eşitlik korunur.
Bölme işleminde birleşme özelliği vardır.
🔗
Eşleştirme
a × (b + c) = a × b + a × c
a + b = b + a
a × (b − c) = a × b − a × c
(a × b) × c = a × (b × c)
🧠
Hızlı özet

Eşitliğin korunumu

Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenir/çıkarılır ya da iki taraf sıfır hariç aynı sayıyla çarpılır/bölünürse eşitlik korunur.

Değişme

Toplamada ve çarpmada sayıların yeri değişse de sonuç değişmez. Çıkarma ve bölmede değişme özelliği yoktur.

Birleşme

Toplamada ve çarpmada gruplama değişse de sonuç değişmez. Çıkarma ve bölmede birleşme özelliği yoktur.

Dağılma

Çarpma, toplama ve çıkarma üzerine dağılır: a × (b + c) = a × b + a × c ve a × (b − c) = a × b − a × c.

Varsayım ve sınama

Bir genellemenin doğruluğu tek bir örnekle değil, birçok örnekle sınanır.

Önerme

Bulunan sonuç sözel ya da sembolik bir önerme olarak yazılır ve katkısı gerekçelendirilir.

🎯
Kendini Dene
Soru 1/10 · Puan 0