6. Sınıf Matematik · 1. Tema · MAT.6.1.1

🧩 Çarpan-Kat Kâşifi

Karşılaştığı problem durumlarında bir doğal sayının çarpan ve katlarına yönelik muhakeme yapabilme

🔢
Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir doğal sayıyı kalansız (tam) olarak bölen doğal sayılara, o sayının çarpanı (böleni) denir.

\[12=1\times12=2\times6=3\times4\]

Buna göre 12'nin çarpan çiftleri: (1, 12), (2, 6), (3, 4)'tür. 12'nin çarpanları küçükten büyüğe: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Dikkat: Sıfır hariç bir doğal sayının çarpanları sınırlı (sonlu) sayıdadır; en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı ise kendisidir.
🔁
Kat Nedir?
Bir doğal sayının katları, o sayının 0, 1, 2, 3, ... doğal sayılarıyla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.
\[4\times0=0 \quad 4\times1=4 \quad 4\times2=8 \quad 4\times3=12 \quad 4\times4=16 \ \dots\]
✓ Bir doğal sayının katları sonsuz sayıdadır ve o sayı kadar artan bir örüntü (ardışık ilerleme) oluşturur.
🏗️
Çarpan ile Kat Arasındaki İlişki

\(a\times b=c\) ise; \(a\) ve \(b\) sayıları \(c\)'nin çarpanıdır, \(c\) ise hem \(a\)'nın hem de \(b\)'nin katıdır. Yani çarpan ve kat kavramları birbirinin tersidir.

\[3\times5=15\]

Buna göre 3 ve 5, 15'in çarpanlarıdır; 15 ise hem 3'ün hem de 5'in katıdır.
Aşağıda, günlük hayatta çarpanları ve katları kullandığımız bazı durumlara örnekler verilmiştir.

  • 🧱 Dikdörtgen şeklindeki bir bahçeyi çevreleyen tel örgünün uzunluğunu bulma
  • 📦 Eşit sayıda ürünleri kaç farklı şekilde kutulara paylaştırabileceğini belirleme
  • 🪑 Bir sınıftaki sıraları eşit sütun ve sıralara dizme
  • 🍬 Şekerleri arkadaşlar arasında eşit ve artıksız paylaştırma
📐
Alan Modeliyle Çarpanları Görme

Alanı sabit tutulan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını değiştirmek, o alanı veren sayının farklı çarpan çiftlerini bulmakla aynı şeydir. Örneğin alanı 24 birim kare olan bir dikdörtgen; 1×24, 2×12, 3×8 veya 4×6 kenar uzunluklarıyla oluşturulabilir. "Modelle Doğrula" sekmesinde bunu kendin deneyebilirsin.

🏫
Bahçe Duvarı Problemi

Dikdörtgen şeklindeki bir okul bahçesinin alanı 24 metrekaredir. Bahçeyi çevreleyen tel çitin uzunluğu (dikdörtgenin çevresi) en az ve en çok kaç metre olabilir? Aşağıdaki kenar çiftlerinden her birini sırayla seçerek dene ve sonucu gözlemle.

Bir kenar çifti seçerek başla.
💭
Varsayımını Sına

Bahçe probleminden yola çıkarak aşağıdaki varsayımlardan hangisine katılıyorsun? Seç ve gerekçesini oku.

"24 sayısının çarpan çiftleri sınırlı (belirli) sayıda olduğu için, alanı 24 m² olan dikdörtgenin çevresi de belirli değerler arasında değişir."
🧮
Çarpanlarını Bul

Kutuya 1 ile 101 arasında bir doğal sayı gir, sayının tüm çarpanlarını ve çarpan çiftlerini gör.

Bir sayı gir ve butona tıkla.
📐
Alan Modeliyle Çarpan Çiftini Gör

Alanı 24 birim kare olan dikdörtgenin farklı kenar uzunluklarını (çarpan çiftlerini) tıklayarak ızgara üzerinde gör.

Bir kenar çifti seç.
🔢
Katlarını Bul / Sayı Doğrusunda İncele

Kutuya 0 ile 13 arasında bir doğal sayı gir, sayı doğrusunda katlarını gör.

Bir sayı gir ve butona tıkla.
🔍
Doğru mu, Yanlış mı?

Çarpan ve katlarla ilgili aşağıdaki önermeleri incele; doğru ya da yanlış olduğuna karar ver ve gerekçesini oku.

🧭
Doğrulamanı Değerlendir
💡 Alan modelini kullanarak "her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı biçiminde yazılabilir" önermesini doğruladın. Aynı modeli, bir kesrin payını ve paydasını ortak çarpanlarına ayırarak sadeleştirme işleminde de kullanabilir misin? Bir arkadaşınla tartış ve bir örnek üzerinde göster.
Örnek 136 sayısının tüm çarpanlarını küçükten büyüğe yazınız.
1
36'yı 1'den başlayarak sırasıyla doğal sayılara böleriz ve kalansız bölünenleri buluruz: \(36=1\times36=2\times18=3\times12=4\times9=6\times6\).
2
Bulunan tüm çarpanları küçükten büyüğe sıralarız.
✓ 36'nın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 çarpan)
Örnek 27'nin sıfırdan farklı ilk 5 katını yazınız.
1
7'nin katlarını bulmak için 7'yi sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 doğal sayılarıyla çarparız.
2
\(7\times1=7,\ 7\times2=14,\ 7\times3=21,\ 7\times4=28,\ 7\times5=35\)
✓ 7'nin ilk 5 katı: 7, 14, 21, 28, 35
Örnek 3Alanı 18 birim kare olan dikdörtgenin olası tam sayı kenar uzunluklarını (çarpan çiftlerini) bulunuz.
1
18'i iki doğal sayının çarpımı biçiminde yazacak çarpan çiftlerini ararız.
2
\(18=1\times18=2\times9=3\times6\)
✓ Olası kenar uzunlukları: (1, 18), (2, 9), (3, 6)
Örnek 445 sayısının çarpanlarını bulup kaç tane çarpanı olduğunu belirtiniz.
1
\(45=1\times45=3\times15=5\times9\) biçiminde yazılabilir.
2
Çarpanları küçükten büyüğe sıralarız: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
✓ 45'in 6 çarpanı vardır: 1, 3, 5, 9, 15, 45
Örnek 5Bir öğretmen 60 kalemi öğrencilere eşit ve artıksız sayıda dağıtmak istiyor. 60'ın çarpanlarından yararlanarak kalemleri kaç farklı öğrenci sayısına eşit paylaştırabileceğini açıklayınız.
1
60 kalemin artıksız paylaştırılabilmesi için öğrenci sayısının 60'ın bir çarpanı olması gerekir.
2
60'ın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60'tır.
✓ Öğretmen kalemleri; örneğin 4 öğrenciye 15'er, 6 öğrenciye 10'ar, 12 öğrenciye 5'er kalem olacak biçimde, bu çarpanlardan herhangi birine karşılık gelen öğrenci sayısına eşit paylaştırabilir.
ÇARPAN-KAT KÂŞİFİ · 10 SORU1 / 10
TOPLAM PUAN
0
Doğru: 0
📋
Hızlı Özet
ÇarpanBir doğal sayıyı tam bölen doğal sayılardır; sayıdaki çarpan sayısı sınırlıdır.
KatBir doğal sayının 0,1,2,3,... ile çarpılmasıyla elde edilen doğal sayılardır; sonsuz sayıdadır.
İlişki\(a\times b=c\) ise a ve b, c'nin çarpanı; c ise a'nın ve b'nin katıdır.
Alan ModeliSabit alanlı bir dikdörtgenin farklı kenarları, o alanın çarpan çiftlerini verir.
🎯
Kendine Sor

1. 28 sayısının kaç tane çarpanı vardır?

2. 9'un sıfırdan farklı ilk iki katını sırasıyla yazınız.