6. Sınıf Matematik · 1. Tema · MAT.6.1.4

🤝 Ortak Kat - Ortak Bölen Atölyesi

Günlük hayat problemleri ya da matematiksel durumlar üzerinden ortak kat ve ortak bölenleri yorumlayabilme

🔁
Ortak Kat Nedir?
İki doğal sayının katları arasında ortak olarak bulunan sayılara bu iki sayının ortak katı denir.
\[6\text{'nın katları: }6,12,18,\mathbf{24},30,36,...\qquad 8\text{'in katları: }8,16,\mathbf{24},32,40,...\]

6 ile 8'in ortak katları: 24, 48, 72, ... Bu ortak katlar arasındaki en küçüğüne ise en küçük ortak kat denir (24).

✂️
Ortak Bölen Nedir?
İki doğal sayının çarpanları (bölenleri) arasında ortak olarak bulunan sayılara bu iki sayının ortak böleni denir.
\[18\text{'in çarpanları: }1,2,3,6,9,18 \qquad 24\text{'ün çarpanları: }1,2,3,4,6,8,12,24\]

18 ile 24'ün ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6. Bu ortak bölenler arasındaki en büyüğüne ise en büyük ortak bölen denir (6).

🎯
Aralarında Asal Olma
İki doğal sayının 1'den başka bir ortak böleni yoksa bu iki sayıya aralarında asal sayılar denir.
\[9\text{'un çarpanları: }1,3,9 \qquad 16\text{'nın çarpanları: }1,2,4,8,16 \to \text{ortak bölen sadece }1\]
✓ 9 ile 16 aralarında asaldır. Dikkat: Aralarında asal olmak, sayıların kendisinin asal olması gerektiği anlamına gelmez!
📊
Temsillerle Gösterim

Ortak kat ve ortak bölen ilişkileri; sayı doğrusu (katların işaretlenmesi), tablo (çarpanların karşılaştırılması) ya da çizim/şema (iki kümenin kesişimi) gibi farklı temsillerle gösterilebilir.

  • 🌳 Farklı aralıklarla fidan dikimi → ortak kat problemi
  • 📦 Malzemeleri eşit paketlere ayırma → ortak bölen problemi
  • 🚌 Aynı anda kalkan iki servisin tekrar buluşma zamanı → ortak kat problemi
  • 🐾 Hayvanlara eşit büyüklükte mama paketleri hazırlama → ortak bölen problemi
🌳
Fidan Dikme Problemi

Bir tarım arazisinin bir kenarı boyunca bir çiftçi 8 metrede bir, diğer bir çiftçi ise aynı noktadan başlayarak 12 metrede bir fidan dikiyor. İki çiftçinin de aynı noktaya fidan dikeceği ilk mesafeyi bulmak için aşağıdaki modelleri incele.

8'in ve 12'nin katlarından ortak olanlar yeşille işaretlendi.
✓ 8 ile 12'nin ortak katları: 24, 48, 72, 96, ... İki çiftçi ilk kez 24. metrede aynı noktaya fidan diker.
💭
Varsayımını Sına

Bu problemden yola çıkarak aşağıdaki varsayımlardan hangisine katılıyorsun?

"İki sayının ortak katlarını bulmak için her iki sayının katlarını ayrı ayrı listeleyip, hangi sayıların her iki listede de bulunduğuna bakmak yeterlidir."
📦
Paket Hazırlama Problemi

Yardıma muhtaç ailelere dağıtılmak üzere 24 defter ve 36 kalem toplanmıştır. Bu malzemeler, her pakette eşit sayıda defter ve eşit sayıda kalem olacak şekilde, artırılmadan en fazla kaç pakete ayrılabilir? Aşağıdaki çarpan çiftlerinden hangilerinin her iki sayıyı da tam böldüğünü keşfet.

Bir sayıya tıklayarak her iki sayıyı da bölüp bölmediğini kontrol et.
🧮
Ortak Bölen Bulucu

İki doğal sayı gir (1-101 arası); ortak bölenlerini birlikte görelim.

İki sayı gir ve butona tıkla.
🔍
Doğru mu, Yanlış mı?

Ortak kat ve ortak bölenle ilgili aşağıdaki önermeleri incele; doğru ya da yanlış olduğuna karar ver ve gerekçesini oku.

🧭
Değerlendir
💡 Fidan probleminde ortak katları, paket probleminde ortak bölenleri sayı doğrusu ve tablo kullanarak buldun. Bu iki temsilin hangi durumda daha kullanışlı olduğunu bir arkadaşınla tartış.
Örnek 16 ile 8'in ortak katlarından ilk üçünü bulunuz.
1
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
2
8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
✓ Ortak katlardan ilk üçü: 24, 48, 72
Örnek 218 ile 24'ün ortak bölenlerini bulunuz.
1
18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
2
24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
✓ Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 (en büyük ortak bölen 6'dır)
Örnek 39 ile 16 sayıları aralarında asal mıdır? Açıklayınız.
1
9'un çarpanları: 1, 3, 9. 16'nın çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16.
2
İki listede ortak olan tek sayı 1'dir.
✓ 9 ile 16'nın ortak böleni sadece 1 olduğu için bu iki sayı aralarında asaldır.
Örnek 4İki otobüs servisi aynı anda bir duraktan kalkıyor. Biri her 4 dakikada, diğeri her 6 dakikada bir aynı duraktan geçiyor. İki servis, kalkıştan kaç dakika sonra ilk kez yeniden aynı anda o duraktan geçer?
1
4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, ...
2
Bu iki listede ilk ortak sayı 12'dir.
✓ İki servis, kalkıştan 12 dakika sonra ilk kez yeniden aynı anda duraktan geçer.
Örnek 530 tane elma ile 45 tane armut, her sepette eşit sayıda elma ve eşit sayıda armut olacak şekilde en fazla kaç sepete paylaştırılabilir?
1
30'un çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 45'in çarpanları: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
2
Ortak bölenler: 1, 3, 5, 15. Bunların en büyüğü 15'tir.
✓ En fazla 15 sepete paylaştırılabilir (her sepette 2 elma, 3 armut olur).
ORTAK KAT-ORTAK BÖLEN · 10 SORU1 / 10
TOPLAM PUAN
0
Doğru: 0
📋
Hızlı Özet
Ortak Katİki sayının katları arasında ortak bulunan sayılardır.
Ortak Bölenİki sayının çarpanları arasında ortak bulunan sayılardır.
Aralarında AsalOrtak böleni yalnızca 1 olan iki sayıdır.
TemsillerSayı doğrusu, tablo ve çizim ile ortak kat/bölen gösterilebilir.
🎯
Kendine Sor

1. 10 ile 15'in ortak bölenlerini yazınız.

2. 5 ile 9 sayıları aralarında asal mıdır? (Evet/Hayır yaz)