6. Sınıf Matematik · 1. Tema · MAT.6.1.6

➗ Kesir Bölme Makinesi

Kesir ve bölme işlemi arasındaki ilişkiye yönelik tümevarımsal akıl yürütebilme

➗
Kesir, Bir Bölme İşlemidir
Bir kesir, payının paydasına bölünmesiyle elde edilen bir bölme işlemidir: \(\dfrac{a}{b}=a\div b\).
\[\dfrac{1}{4}=1\div4=0,25\]
✅
Sonlu Ondalık Gösterim
Bölme işlemi bir noktada kalansız bitiyorsa, elde edilen ondalık gösterime sonlu ondalık gösterim denir.
\[\dfrac{1}{4}=0,25 \qquad \dfrac{5}{8}=0,625\]
🔁
Devirli Ondalık Gösterim
Bölme işlemi hiç bitmiyorsa ve aynı basamak ya da basamak grubu sürekli tekrar ediyorsa, buna devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden kısmın üzerine çizgi çizilerek gösterilir.
\[\dfrac{1}{3}=1\div3=0,\overline{3}=0,333... \qquad \dfrac{2}{7}=0,\overline{285714}\]
🧩
Neden Bazıları Sonlu, Bazıları Devirli?

Bir kesir sadeleştirildikten sonra, paydasının asal çarpanlarına bakılır:

  • Payda sadece 2 ve/veya 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa → ondalık gösterim sonludur.
  • Payda başka bir asal çarpan (3, 7, 11, ...) içeriyorsa → ondalık gösterim devirlidir.
\[20=2^2\times5 \to \text{sonlu} \qquad 6=2\times3 \to \text{devirli}\]
✓ Bu genellemeye, birçok kesri payını paydasına bölerek ve sonuçlardaki örüntüyü fark ederek (tümevarımsal akıl yürütme ile) ulaşabiliriz.
🖩
Bölme Makinesi ile Gözlem Yap

Bir kesir gir (pay ve payda); kağıt-kalem bölmesini adım adım izle ve kalanların örüntüsünü gözlemle. Hesap makinesi mantığıyla sonucu da gör!

Bir kesir gir ve butona tıkla.
🔎
Paydanın Asal Çarpanlarına Bak

Bir kesir gir; paydanın asal çarpanlarına bakarak ondalık gösteriminin sonlu mu devirli mi olacağını tahmin et, sonra gerçek sonuçla karşılaştır.

Bir kesir gir ve butona tıkla.
📊
Örüntüyü Gör

Aşağıdaki kesirlerin paydalarını incele; sonlu ve devirli olanlar arasındaki örüntüyü fark etmeye çalış.

KesirPaydaAsal ÇarpanlarSonuç
1/222Sonlu
1/442×2Sonlu
1/555Sonlu
3/882×2×2Sonlu
1/333Devirli
5/662×3Devirli
1/777Devirli
4/111111Devirli
✓ Paydasında 2 ve 5 dışında bir asal çarpan (3, 6, 7, 11 gibi) bulunan tüm kesirler devirli ondalık gösterime sahiptir.
🔍
Doğru mu, Yanlış mı?

Kesir ve bölme işlemi ilişkisiyle ilgili aşağıdaki önermeleri incele; doğru ya da yanlış olduğuna karar ver ve gerekçesini oku.

🧭
Değerlendir
💡 Bölme makinesinde birçok kesri denedin ve paydanın çarpanlarına bakarak tahmin ettin. Bu genellemeyi, hiç denemediğin bir kesir için (örneğin 9/40) kullanabilir misin? Önce tahmin et, sonra "Bölme Makinesi" sekmesinde dene!
Örnek 11/4 kesrinin ondalık gösterimini bulunuz.
1
1'i 4'e böleriz: \(1\div4\). 1, 4'ten küçük olduğu için ondalık kısma geçeriz: \(10\div4=2\) kalan 2.
2
Kalan 2'yi 10 ile çarpıp tekrar böleriz: \(20\div4=5\) kalan 0. Bölme işlemi kalansız bitti.
✓ 1/4 = 0,25 (sonlu ondalık gösterim)
Örnek 21/3 kesrinin ondalık gösterimini bulunuz.
1
1'i 3'e böleriz: \(10\div3=3\) kalan 1.
2
Kalan yine 1 çıktığı için işlem hiç bitmez; her seferinde aynı "3" basamağı tekrar eder.
✓ 1/3 = 0,333... = 0,\(\overline{3}\) (devirli ondalık gösterim)
Örnek 32/7 kesrinin ondalık gösterimini bulunuz.
1
2'yi 7'ye bölmeye başlarız; sırasıyla kalanlar 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, ... şeklinde ilerler.
2
Kalan 2'ye geri dönüldüğünde, basamaklar "285714" grubu olarak tekrar etmeye başlar.
✓ 2/7 = 0,\(\overline{285714}\) (devirli ondalık gösterim, 6 basamaklı tekrar grubu)
Örnek 45/12 kesrinin ondalık gösterimini bulunuz.
1
5'i 12'ye böleriz: ilk iki basamak 4 ve 1 olarak bulunur (kalansız bitmez).
2
Üçüncü basamaktan itibaren "6" rakamı sürekli tekrar eder.
✓ 5/12 = 0,41\(\overline{6}\) (başta tekrar etmeyen "41", ardından devirli "6")
Örnek 57/20 kesrinin ondalık gösteriminin sonlu mu devirli mi olacağını, bölme işlemini yapmadan paydasına bakarak tahmin ediniz.
1
Payda 20'yi asal çarpanlarına ayırırız: \(20=2\times2\times5\).
2
Payda sadece 2 ve 5 asal çarpanlarından oluştuğu için ondalık gösterim sonlu olmalıdır.
✓ Tahmin doğrulanır: 7/20 = 0,35 (sonlu ondalık gösterim)
KESİR BÖLME MAKİNESİ · 10 SORU1 / 10
TOPLAM PUAN
0
Doğru: 0
📋
Hızlı Özet
Kesir = Bölmea/b kesri, a÷b bölme işlemine eşittir.
Sonlu OndalıkBölme işlemi kalansız biter.
Devirli OndalıkAynı basamak(lar) sürekli tekrar eder; üzerine çizgi çizilir.
GenellemePayda sadece 2 ve 5 çarpanı içeriyorsa sonlu, başka asal içeriyorsa devirlidir.
🎯
Kendine Sor

1. 9/40 kesrinin ondalık gösterimi sonlu mudur, devirli midir? (Sonlu/Devirli yaz)

2. 5/9 kesrinin ondalık gösterimini yazınız (devirliyse tekrar eden basamağı birkaç kez yazabilirsiniz, ör: 0,222...).