7. Sınıf Matematik · 1. Tema · 2. Bölüm

🔁 Devir Dünyası

MAT.7.1.2. Gerçek yaşam durumlarında rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yansıtabilme

➗
Bölme İşlemi ile Ondalık Gösterim

Bir rasyonel sayının ondalık gösterimi, payın paydaya bölünmesiyle elde edilir.

\[\dfrac{3}{4}=3\div4=0{,}75\]
✓ Her rasyonel sayının bir ondalık gösterimi vardır.
🏁
Sonlu Ondalık Gösterim
Bölme işlemi bir noktada kalansız bittiğinde elde edilen ondalık gösterime sonlu ondalık gösterim denir.
\[\dfrac{1}{4}=0{,}25\qquad\dfrac{7}{20}=0{,}35\]

Bir kesrin en sade halinde paydası yalnızca 2 ve/veya 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa, o kesrin ondalık gösterimi sonludur.

💡 \(8=2^3\) → sadece 2 var → sonlu.
💡 \(20=2^2\times5\) → sadece 2 ve 5 var → sonlu.

Bir kesir genişletilerek/sadeleştirlerek paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetlerinden biri olarak yazılabiliyorsa, o kesrin ondalık gösterimi sonludur.

💡 Paydası 25 → 4 ile genişletilerek 100 yapılabilir → sonlu.
💡 Paydası 8 → 125 ile genişletilerek 1000 yapılabilir → sonlu.
🔁
Devirli Ondalık Gösterim
Bölme işlemi hiç bitmeyip aynı rakam ya da rakam grubu sürekli tekrar ediyorsa elde edilen ondalık gösterime devirli ondalık gösterim denir.
\[\dfrac{1}{6}=0{,}1666\ldots=0{,}1\overline{6}\qquad\dfrac{1}{7}=0{,}14285714\ldots=0{,}\overline{142857}\]

Tekrar eden rakam ya da rakam grubunun üzerine çizgi çizilerek kısaca gösterilir. Paydası sadeleştirildiğinde 2 ve 5 dışında bir asal çarpan içeren kesirlerin ondalık gösterimi devirlidir.

💡 \(6=2\times3\) → 3 olduğu için devirli.
💡 \(7\)'nin kendisi asaldır, 2 ve 5'ten farklı olduğu için devirli.
🧭
Üçüncü Bir Seçenek Yok
✓ Her rasyonel sayı ya sonlu ya da devirli bir ondalık gösterime sahiptir.
💡 Tartışma: \(0{,}999\ldots\) sayısı aslında \(1\)'e eşittir! Çünkü \(\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots\) ise, her iki tarafı 3 ile çarptığımızda \(\dfrac{3}{3}=0{,}999\ldots\) olur; ancak \(\dfrac{3}{3}=1\)'dir. Demek ki \(0{,}999\ldots=1\).
✍️
Payı Paydaya Böl

🔍
Her Rasyonel Sayının Bir Ondalık Gösterimi Vardır

Aşağıdaki rasyonel sayılardan birine tıkla; bölme işleminin sonucunu gör.

\[\dfrac{5}{8}=5\div8=0{,}625\]
🔎
Paydaya Bakarak Tahmin Et
〰️
Devirli Gösterimi Tanı
✖️
Kaç ile Genişletmelisin?

Paydayı 10'un bir kuvveti yapmak için kesri hangi sayı ile genişletmelisin?

🔃
Ondalık Sayıyı Kesir Olarak Yaz
💡 Ondalık kısımdaki basamak sayısı kadar paydaya sıfır eklenir (1 basamak → 10, 2 basamak → 100, 3 basamak → 1000...).

Örnek 1\(\dfrac{5}{8}\) kesrini bölme işlemi ile ondalık gösterime çeviriniz.
1
Payı paydaya böleriz: \(5\div8\).
2
Bölme işlemi 3 basamakta kalansız biter, yani sonlu bir ondalık gösterim elde edilir.
✓ \(\dfrac{5}{8}=0{,}625\)
Örnek 2\(\dfrac{2}{3}\) kesrini ondalık gösterime çeviriniz.
1
Payı paydaya böleriz: \(2\div3\). Bölme işlemi hiç bitmez, 6 rakamı sürekli tekrar eder.
2
Tekrar eden rakamın üzerine çizgi çizilerek kısaca gösterilir.
✓ \(\dfrac{2}{3}=0{,}666\ldots=0{,}\overline{6}\)
Örnek 3\(\dfrac{7}{12}\) kesrinin ondalık gösteriminin sonlu mu devirli mi olduğunu belirleyiniz.
1
Paydanın asal çarpanlarına bakılır: \(12=2^2\times3\).
2
Payda, 2 ve 5 dışında bir asal çarpan olan 3'ü içerdiği için ondalık gösterim devirli olur.
✓ \(\dfrac{7}{12}\) devirli bir ondalık gösterime sahiptir.
Örnek 4\(0{,}84\) ondalık sayısını sadeleştirmeden kesir (a/b) biçiminde yazınız.
1
Ondalık kısımda 2 basamak olduğu için payda 100 olur.
2
Pay, virgülden sonraki rakamlar kullanılarak 84 olur.
✓ \(0{,}84=\dfrac{84}{100}\)
Örnek 5Bir tarifte 1 su bardağının \(\dfrac{3}{4}\) kadarı un kullanılıyor. Bu miktarı ondalık gösterimle ifade ediniz.
1
Paydayı 10'un kuvveti yapmak için 25 ile genişletiriz: \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{75}{100}\).
2
Yüzde birlikler basamağına göre ondalık gösterim yazılır.
✓ \(\dfrac{3}{4}=0{,}75\) su bardağı
DEVİR DÜNYASI · 10 SORU1 / 10
TOPLAM PUAN
0
Doğru: 0
📋
Hızlı Özet
Bölme ile OndalıkHer rasyonel sayı payı paydaya bölerek ondalık gösterime çevrilebilir.
Sonlu OndalıkBölme kalansız biter. Payda yalnızca 2 ve/veya 5 çarpanı içerir.
Devirli OndalıkBir rakam grubu sonsuza dek tekrar eder: \(0{,}\overline{3}\)
GenellemeHer rasyonel sayı ya sonlu ya da devirli bir ondalık gösterime sahiptir.
🎯
Kendine Sor

1. \(\dfrac{5}{6}\) kesrinin ondalık gösterimi SONLU mudur yoksa DEVİRLİ midir?

2. \(0{,}35\) ondalık gösterimini kesir (a/b) biçiminde, sadeleştirmeden yazınız.