7. Sınıf Matematik · 1. Tema · 2. Bölüm

🔁 Devir Dünyası

MAT.7.1.2. Gerçek yaşam durumlarında rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yansıtabilme

➗
Bölme İşlemi ile Ondalık Gösterim

Bir rasyonel sayının ondalık gösterimi, payın paydaya bölünmesiyle elde edilir.

\[\dfrac{3}{4}=3\div4=0{,}75\]
✓ Her rasyonel sayının bir ondalık gösterimi vardır.
🏁
Sonlu Ondalık Gösterim
Bölme işlemi bir noktada kalansız bittiğinde elde edilen ondalık gösterime sonlu ondalık gösterim denir.
\[\dfrac{1}{4}=0{,}25\qquad\dfrac{7}{20}=0{,}35\]

Bir kesrin en sade halinde paydası yalnızca 2 ve/veya 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa, o kesrin ondalık gösterimi sonludur.

💡 \(8=2^3\) → sadece 2 var → sonlu.
💡 \(20=2^2\times5\) → sadece 2 ve 5 var → sonlu.

Bir kesir genişletilerek/sadeleştirlerek paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetlerinden biri olarak yazılabiliyorsa, o kesrin ondalık gösterimi sonludur.

💡 Paydası 25 → 4 ile genişletilerek 100 yapılabilir → sonlu.
💡 Paydası 8 → 125 ile genişletilerek 1000 yapılabilir → sonlu.
🔁
Devirli Ondalık Gösterim
Bölme işlemi hiç bitmeyip aynı rakam ya da rakam grubu sürekli tekrar ediyorsa elde edilen ondalık gösterime devirli ondalık gösterim denir.
\[\dfrac{1}{6}=0{,}1666\ldots=0{,}1\overline{6}\qquad\dfrac{1}{7}=0{,}14285714\ldots=0{,}\overline{142857}\]

Tekrar eden rakam ya da rakam grubunun üzerine çizgi çizilerek kısaca gösterilir. Paydası sadeleştirildiğinde 2 ve 5 dışında bir asal çarpan içeren kesirlerin ondalık gösterimi devirlidir.

💡 \(6=2\times3\) → 3 olduğu için devirli.
💡 \(7\)'nin kendisi asaldır, 2 ve 5'ten farklı olduğu için devirli.
🧭
Üçüncü Bir Seçenek Yok
✓ Her rasyonel sayı ya sonlu ya da devirli bir ondalık gösterime sahiptir.
💡 Tartışma: \(0{,}999\ldots\) sayısı aslında \(1\)'e eşittir! Çünkü \(\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots\) ise, her iki tarafı 3 ile çarptığımızda \(\dfrac{3}{3}=0{,}999\ldots\) olur; ancak \(\dfrac{3}{3}=1\)'dir. Demek ki \(0{,}999\ldots=1\).
✍️
Payı Paydaya Böl

🔍
Her Rasyonel Sayının Bir Ondalık Gösterimi Vardır

Aşağıdaki rasyonel sayılardan birine tıkla; bölme işleminin sonucunu gör.

\[\dfrac{5}{8}=5\div8=0{,}625\]
🔎
Paydaya Bakarak Tahmin Et
〰️
Devirli Gösterimi Tanı
✖️
Kaç ile Genişletmelisin?

Paydayı 10'un bir kuvveti yapmak için kesri hangi sayı ile genişletmelisin?

🔃
Ondalık Sayıyı Kesir Olarak Yaz
💡 Ondalık kısımdaki basamak sayısı kadar paydaya sıfır eklenir (1 basamak → 10, 2 basamak → 100, 3 basamak → 1000...).

Örnek 1\(\dfrac{5}{8}\) kesrini bölme işlemi ile ondalık gösterime çeviriniz.
1
Payı paydaya böleriz: \(5\div8\).
2
Bölme işlemi 3 basamakta kalansız biter, yani sonlu bir ondalık gösterim elde edilir.
✓ \(\dfrac{5}{8}=0{,}625\)
Örnek 2\(\dfrac{2}{3}\) kesrini ondalık gösterime çeviriniz.
1
Payı paydaya böleriz: \(2\div3\). Bölme işlemi hiç bitmez, 6 rakamı sürekli tekrar eder.
2
Tekrar eden rakamın üzerine çizgi çizilerek kısaca gösterilir.
✓ \(\dfrac{2}{3}=0{,}666\ldots=0{,}\overline{6}\)
Örnek 3\(\dfrac{7}{12}\) kesrinin ondalık gösteriminin sonlu mu devirli mi olduğunu belirleyiniz.
1
Paydanın asal çarpanlarına bakılır: \(12=2^2\times3\).
2
Payda, 2 ve 5 dışında bir asal çarpan olan 3'ü içerdiği için ondalık gösterim devirli olur.
✓ \(\dfrac{7}{12}\) devirli bir ondalık gösterime sahiptir.
Örnek 4\(0{,}84\) ondalık sayısını sadeleştirmeden kesir (a/b) biçiminde yazınız.
1
Ondalık kısımda 2 basamak olduğu için payda 100 olur.
2
Pay, virgülden sonraki rakamlar kullanılarak 84 olur.
✓ \(0{,}84=\dfrac{84}{100}\)
Örnek 5Bir tarifte 1 su bardağının \(\dfrac{3}{4}\) kadarı un kullanılıyor. Bu miktarı ondalık gösterimle ifade ediniz.
1
Paydayı 10'un kuvveti yapmak için 25 ile genişletiriz: \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{75}{100}\).
2
Yüzde birlikler basamağına göre ondalık gösterim yazılır.
✓ \(\dfrac{3}{4}=0{,}75\) su bardağı
♾️
Devirli Ondalık Gösterimi Rasyonel Sayıya Çevirme

Bu etkinlikte ilk kutuya varsa devretmeyen kısmı, ikinci kutuya ise devreden kısmı yazın.
Rasyonel sayıya çevirmek istediğiniz sayıda virgülden sonra devretmeyen rakamlar yoksa, ilk kutuyu boş bırakın.
Örneğin \(0{,}2\overline{36}\) için devretmeyen kısım 2, devreden kısım 36'dır.

🔍
Paydalar Hakkında Keşif

1/d kesirlerinin ondalık gösterimleri sonlu mu devirli mi? Bir kesre tıklayarak ondalık açılımını görün ve önce tahmin edin. Ardından düğmeyle sonlu olanları (yeşil çerçeve) ve devirli olanları (kırmızı çerçeve) gösterin.

Gözlem: Kesir sadeleştirildiğinde paydası yalnızca 2 ve 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa (2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25…) ondalık gösterim sonludur. Paydada 3, 7, 11 gibi başka bir asal çarpan varsa ondalık gösterim devirlidir.
DEVİR DÜNYASI · 10 SORU1 / 10
TOPLAM PUAN
0
Doğru: 0
📋
Hızlı Özet
Bölme ile OndalıkHer rasyonel sayı payı paydaya bölerek ondalık gösterime çevrilebilir.
Sonlu OndalıkBölme kalansız biter. Payda yalnızca 2 ve/veya 5 çarpanı içerir.
Devirli OndalıkBir rakam grubu sonsuza dek tekrar eder: \(0{,}\overline{3}\)
GenellemeHer rasyonel sayı ya sonlu ya da devirli bir ondalık gösterime sahiptir.
🎯
Kendine Sor

1. \(\dfrac{5}{6}\) kesrinin ondalık gösterimi SONLU mudur yoksa DEVİRLİ midir?

2. \(0{,}35\) ondalık gösterimini kesir (a/b) biçiminde, sadeleştirmeden yazınız.