7. Sınıf Matematik 2. Tema

📖

İspat neyi gösterir?

Bir örnek, bir matematiksel önermenin doğru olabileceğini düşündürebilir; ancak tek başına “her zaman” doğru olduğunu göstermez. İspat, önermenin neden bütün uygun durumlar için geçerli olduğunu gerekçelendirir.

İspat süreci: örnekleri incele → örüntü gör → varsayım oluştur → karşı örnek ara → doğrulanabilir önerme yaz → cebirsel gerekçe kur → sonucu yeni durumlara uyarla.

Varsayım

Örnek ve örüntülere dayanarak geçerli olduğunu düşündüğümüz ifadedir.

Önerme

Doğruluğu matematiksel gerekçelerle gösterilebilen ifadedir.

🔢

Örnek: iki tek sayının toplamı

1+3=45+7=129+11=2013+15=28

Örnekler toplamların çift olduğunu düşündürüyor. Şimdi bunu bütün tek sayılar için cebirsel olarak göstereceğiz.

💡

Varsayımını oluştur

İki tek sayının toplamı için aşağıdaki varsayımlardan hangisi örneklerle uyumludur?

Varsayımın doğruluğunu yalnızca birkaç örneğe bakarak kesinleştirme. Örnekleri artır ve ardından cebirsel bir gerekçe kur.

🔢

Sayı örüntülerini listele

1. tek sayı	2. tek sayı	Toplam
1	3	4
5	7	12
11	15	26
21	25	46

Toplamların hepsi çift. Fakat “hepsi” ifadesini matematiksel olarak güvenceye almak için tek sayıları genel biçimde göstermeliyiz.

x=2k+1,\quad y=2m+1

🧾

Cebirsel ispatı adım adım kur

x ve y tek sayılar olsun.

Birer doğal sayı k ve m için x=2k+1 ve y=2m+1 yazılabilir.

Toplayalım: x+y=(2k+1)+(2m+1).

x+y=2(k+m+1).

Sonuç 2'nin katı olduğundan çifttir.

Sonuç: x ve y tek sayı ise x+y çifttir. Bu sonuç, tek tek örneklerden değil, tek sayıların genel cebirsel biçiminden elde edildi.

✏️

İspat örnekleri

Örnek 1İki çift sayının toplamının çift olduğunu göster.

1x=2k ve y=2m olsun.

2x+y=2k+2m=2(k+m).

Sonuç 2'nin katıdır; dolayısıyla çifttir.

Örnek 2Ardışık üç sayının toplamının 3'e bölünebildiğini göster.

1Sayılar n, n+1, n+2 olsun.

2Toplam: 3n+3.

33n+3=3(n+1).

Sonuç 3'ün katıdır.

📝

Sen tamamla

x ve y tek sayılar ise x=2k+1 biçiminde yazılabilir. y için uygun biçimi yaz.

Ardışık üç sayı n, n+1, n+2 ise toplamlarını sadeleştir.

2k+1 ifadesi hangi sayı türünü genel olarak temsil eder?

🎮

Kendini Dene

Soru 1/10 · Puan 0

📋

Temanın özeti

Örüntü

Örneklerden ilişkiyi fark etmeye yardım eder.

Karşı örnek

Bir “her zaman” iddiasını çürütmeye yeter.

İspat

Önermenin neden bütün uygun durumlarda doğru olduğunu gösterir.

Cebirsel biçim

Tek ve çift sayıları genel biçimde ifade etmeyi sağlar.