🔎
Önceki bilgilerimizi hatırlayalımGeçen derste dairenin alan bağıntısını (A = r² × π) öğrenmiştik. Bir daire dilimi, dairenin merkez açıyla sınırlanan bir parçasıdır (bir pizza diliminin şekli gibi). Bu derste, bir daire diliminin alanını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
Merkez açı: Köşesi dairenin merkezinde olan ve kenarları iki yarıçaptan oluşan açıdır. Bir merkez açı, karşısındaki yayın uzunluğunu ve o yaya karşılık gelen dilimin alanını belirler.
Tam bir dairenin merkez açısı 360°'dir; tam dairenin alanı da r² × π'dir. Bir dilimin merkez açısı, tam açının (360°) ne kadarlık bir kısmıysa, dilimin alanı da dairenin alanının o kadarlık kısmıdır.
⚖️
Merkez Açı, Yay Uzunluğu ve Dilim Alanı İlişkisiMerkez açı ile yay uzunluğu arasında orantılı bir ilişki vardır: merkez açı 2 katına çıkarsa, yay uzunluğu da 2 katına çıkar. Aynı orantılı ilişki, merkez açı ile dilim alanı arasında da geçerlidir.
Bir dairenin tamamı 360°'lik bir açıya ve r²×π'lik bir alana sahiptir. Merkez açısı x° olan bir dilimin alanı, dairenin alanının \(\dfrac{x}{360}\) katıdır:
Daire dilimi alanı = \(\dfrac{\text{merkez açı}}{360}\) × r² × π
Aşağıdaki araçta merkez açıyı kaydırıcıyla değiştirin; dilimin dairenin ne kadarlık bir kısmı olduğunu görün.
Dairenin ne kadarı
1/4
📐
Daire Dilimi Alan Formülünü UygulamaUygulama
Yarıçapı 6 cm, merkez açısı 60° olan bir daire diliminin alanını bulunuz. (π ≈ 3)
1
Önce dairenin tam alanı bulunur: 6² × 3 = 108 cm²
2
Dilimin merkez açısı 60° olduğundan, dilim dairenin \(\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}\)'sıdır.
3
Dilimin alanı: 108 × \(\dfrac{1}{6}\) ya da 108 ÷ 6
Sonuç: Daire diliminin alanı 18 cm²'dir.
Aşağıdaki araçta yarıçapı ve merkez açıyı kaydırıcılarla seçin; daire diliminin alanı canlı olarak hesaplansın. (π ≈ 3 alınmıştır)
✏️
Çözümlü örneklerÖrnek 1
Yarıçapı 9 cm, merkez açısı 120° olan bir daire diliminin alanını bulunuz. (π ≈ 3)
1
Dairenin tam alanı: 9² × 3 = 243 cm²
2
Dilim oranı: \(\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\)
Sonuç: Dilimin alanı \(\dfrac{1}{3}\) × 243 = 81 cm²'dir.
Örnek 2
Yarıçapı 10 cm olan bir yarım dairenin (merkez açı 180°) alanını bulunuz. (π ≈ 3,14)
1
Dairenin tam alanı: 10² × 3,14 = 314 cm²
2
Yarım daire, dairenin \(\dfrac{180}{360}=\dfrac{1}{2}\)'sidir.
Sonuç: Yarım dairenin alanı 157 cm²'dir.
Örnek 3
Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin, alanı 25 cm² olan bir dilimin merkez açısı kaç derecedir? (π ≈ 3)
1
Dairenin tam alanı: 5² × 3 = 75 cm²
2
Dilimin dairenin ne kadarı olduğu bulunur: \(\dfrac{25}{75}=\dfrac{1}{3}\)
3
Merkez açı, tam açının \(\dfrac{1}{3}\)'üdür: \(\dfrac{1}{3}\) × 360°
Sonuç: Merkez açı 120°'dir.
Örnek 4
Yarıçapı 12 cm olan dairesel bir pizza, merkezden 8 eş dilime kesiliyor. Her bir dilimin alanı kaç cm²'dir? (π ≈ 3)
1
Dairenin tam alanı: 12² × 3 = 432 cm²
2
8 eş dilim olduğundan her dilimin merkez açısı: 360° ÷ 8 = 45°
3
Her dilimin alanı: \(\dfrac{432}{8}\)
Sonuç: Her dilimin alanı 54 cm²'dir.
Örnek 5
Bir vantilatörün kanadı, yarıçapı 20 cm olan bir dairenin 30°'lik bir dilimi şeklindedir. Kanadın alanı kaç cm²'dir? (π ≈ 3,14)
1
Dairenin tam alanı: 20² × 3,14 = 1256 cm²
2
Dilim oranı: \(\dfrac{30}{360}=\dfrac{1}{12}\)
Sonuç: Kanadın alanı \(\dfrac{1256}{12}\) ≈ 104,7 cm²'dir.
📝
Çalışma Soruları1) Yarıçapı 8 cm, merkez açısı 90° olan bir daire diliminin alanı kaç cm²'dir? (π ≈ 3)
2) Yarıçapı 10 cm, merkez açısı 150° olan bir daire diliminin alanı kaç cm²'dir? (π ≈ 3)
Doğru mu, yanlış mı?
Bir daire diliminin alanı, dairenin alanının (merkez açı ÷ 360) katıdır.
Merkez açı 2 katına çıkarsa, aynı yarıçaplı daire diliminin alanı da 2 katına çıkar.
Merkez açısı 90° olan bir dilim, dairenin yarısına eşittir.
📌
ÖzetDaire dilimi alanı = (merkez açı ÷ 360) × r² × π
Merkez açı ile dilim alanı arasında orantılı bir ilişki vardır; bu ilişki, merkez açı ile yay uzunluğu arasındaki orantıya benzer.
| Büyüklük | Bağıntı |
|---|---|
| Dairenin (tam) alanı | r² × π |
| Daire diliminin alanı | (merkez açı ÷ 360) × r² × π |
MAT.7.4.8 süreç bileşenleri: Merkez açı ile yay uzunluğu ilişkisini gözden geçirme, analojik akıl yürütmeyle daire dilimi alan bağıntısına ulaşma, bağıntıyı örneklerle değerlendirme.
🏆
Kendini Dene