7. Sınıf Matematik 4. Tema

🔎

Önceki bilgilerimizi hatırlayalım

Eşkenar dörtgenin ve yamuğun alan bağıntılarını bulmak için, dikdörtgenin ve üçgenin alan bağıntılarından yararlanacağız.

▭ Dikdörtgenin alanı

Taban × Yükseklik

△ Üçgenin alanı

(Taban × Yükseklik) ÷ 2

Eşkenar dörtgen: Dört kenarı da eşit uzunlukta olan dörtgendir; köşegenleri birbirine diktir ve birbirini ortalar.
Yamuk: Yalnızca bir çift kenarı birbirine paralel olan dörtgendir; bu paralel kenarlara taban denir.

🔷

Eşkenar Dörtgenin Alanı

Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine dik olduğundan, dörtgeni köşegenleriyle dört dik üçgene ayırabiliriz. Bu üçgenler, kenarları d₁ ve d₂ olan bir dikdörtgenin tam olarak yarısını oluşturur.

Bu eşkenar dörtgenin alanı, çevresine çizilen dikdörtgenin (kenarları d₁ ve d₂) alanının yarısıdır.

Eşkenar dörtgenin alanı = \(\dfrac{d_1 \times d_2}{2}\)

Uygulama

Köşegen uzunlukları 8 cm ve 6 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanını bulunuz.

Alan = \(\dfrac{d_1 \times d_2}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = \dfrac{48}{2}\)

Sonuç: Eşkenar dörtgenin alanı 24 cm²'dir.

Aşağıdaki araçta köşegen uzunluklarını kaydırıcılarla seçin; alan canlı olarak hesaplansın.

d₁8 cm

d₂6 cm

🔺

Yamuğun Alanı

Bir yamuğun bir eşini (180° döndürülmüş kopyasını) yanına ekleyerek birleştirirsek, bir paralelkenar elde ederiz. Bu paralelkenarın uzun kenarı, yamuğun alt ve üst tabanlarının toplamına (a+b) eşittir; yüksekliği ise yamuğun yüksekliğine (h) eşittir.

İki eş yamuğun bir paralelkenar oluşturması

Paralelkenarın alanı, iki eş yamuğun toplam alanına eşittir. Dolayısıyla, yamuğun alanı paralelkenarın alanının yarısıdır.

Yamuğun alanı = \(\dfrac{(a+b) \times h}{2}\) (a, b: paralel kenarlar; h: yükseklik)

Uygulama

Paralel kenarları 6 cm ve 10 cm, yüksekliği 4 cm olan bir yamuğun alanını bulunuz.

Alan = \(\dfrac{(a+b) \times h}{2} = \dfrac{(6+10) \times 4}{2} = \dfrac{64}{2}\)

Sonuç: Yamuğun alanı 32 cm²'dir.

Aşağıdaki araçta tabanları ve yüksekliği kaydırıcılarla seçin; alan canlı olarak hesaplansın.

a (üst taban)6 cm

b (alt taban)10 cm

h (yükseklik)4 cm

✏️

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Köşegen uzunlukları 10 cm ve 12 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanını bulunuz.

Alan = \(\dfrac{10 \times 12}{2} = \dfrac{120}{2}\)

Sonuç: 60 cm²

Örnek 2

Paralel kenarları 5 cm ve 9 cm, yüksekliği 6 cm olan bir yamuğun alanını bulunuz.

Alan = \(\dfrac{(5+9) \times 6}{2} = \dfrac{84}{2}\)

Sonuç: 42 cm²

Örnek 3

Bir yamuğun alanı 60 cm², paralel kenarları 8 cm ve 12 cm'dir. Yamuğun yüksekliği kaç cm'dir?

60 = \(\dfrac{(8+12) \times h}{2} = \dfrac{20h}{2} = 10h\)

10h = 60 → h = 6

Sonuç: Yamuğun yüksekliği 6 cm'dir.

Örnek 4

Alanı 36 cm² olan bir eşkenar dörtgenin bir köşegeni 8 cm'dir. Diğer köşegen kaç cm'dir?

36 = \(\dfrac{8 \times d_2}{2}\) = 4 × d₂

4 × d₂ = 36 → d₂ = 9

Sonuç: Diğer köşegen 9 cm'dir.

Örnek 5

Bir uçurtma, köşegenleri 40 cm ve 60 cm olan eşkenar dörtgen biçimindedir. Bu uçurtmayı yapmak için kaç cm² kumaş gerekir?

Alan = \(\dfrac{40 \times 60}{2} = \dfrac{2400}{2}\)

Sonuç: 1200 cm² kumaş gerekir.

Örnek 6

Yamuk biçimindeki bir tarlanın paralel kenarları 30 m ve 50 m, yüksekliği (kenarlar arası dik uzaklık) 20 m'dir. Tarlanın alanı kaç m²'dir?

Alan = \(\dfrac{(30+50) \times 20}{2} = \dfrac{1600}{2}\)

Sonuç: 800 m²

📝

Çalışma Soruları

1) Köşegen uzunlukları 9 cm ve 14 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?

2) Paralel kenarları 7 cm ve 11 cm, yüksekliği 5 cm olan bir yamuğun alanı kaç cm²'dir?

Boşluğu doldurun:

Köşegenleri 6 cm ve 10 cm olan eşkenar dörtgenin alanı:

Doğru mu, yanlış mı?

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir.

Yamuğun alan bağıntısı, paralel kenarların toplamının yükseklikle çarpımının yarısıdır.

Bir yamuğun tüm kenarları birbirine paraleldir.

📌

Özet

Eşkenar dörtgenin alanı = (d₁ × d₂) ÷ 2 (köşegenler çarpımının yarısı)

Yamuğun alanı = ((a + b) × h) ÷ 2 (paralel kenarlar toplamı ile yüksekliğin çarpımının yarısı)

Şekil	Alan Bağıntısı
Eşkenar dörtgen	(d₁ × d₂) ÷ 2
Yamuk	((a + b) × h) ÷ 2

MAT.7.4.9 süreç bileşenleri: Dikdörtgen ve üçgen alan bağıntılarını gözden geçirme, eşkenar dörtgen ve yamuk alan bağıntılarına çıkarım yapma, bağıntıları örneklerle değerlendirme.

🔧

İki Eş Yamuktan Paralelkenar

Bu ilk etkinlikte, yamuğun kenar uzunluklarını belirleyeceksiniz.
Mavi renkli bu yamuğun bir kopyası (turuncu renkli) ters çevrilerek hemen yanına yerleştiriliyor.
İki eş şeklin birleşince bir paralelkenar oluşturduklarını gözlemleyebilirsiniz.

Kısa taban a:4Uzun taban c:10Yükseklik h:5

◆

Eşkenar Dörtgen ve Köşegenleri

Köşegen uzunluklarını değiştirin. Eşkenar dörtgeni saran dikdörtgen çizilir; alanı iki şeklin oranıyla karşılaştırın.

Köşegen 1:12Köşegen 2:8

🔗

Komşu Kenarların Orta Noktalarını Birleştirince

Bir dörtgen seçin. Komşu kenarların orta noktaları birleştirilince içte yeni bir dörtgen oluşur. Bu dörtgenin türünü ve alanını inceleyin.

🏆

Kendini Dene