8. Sınıf Matematik — M.8.1.1 Çarpanlar ve Katlar

🔁

Önceki bilgilerimizi hatırlayalım

Önceki sınıflarda bir doğal sayının çarpanlarını (bölenlerini) bulmayı, asal sayı kavramını ve bir sayının katlarını öğrenmiştik. Örneğin 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir; 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar ise yalnızca 1'e ve kendisine bölünebildiği için asal sayıdır.

🔢 Çarpan (Bölen)

Bir sayıyı tam olarak bölen doğal sayılardır. Örneğin 3, 18'in bir çarpanıdır çünkü 18 ÷ 3 = 6 kalansız bölünür.

♾️ Kat

Bir sayının katları, o sayının 1, 2, 3, … ile çarpılmasıyla elde edilen sayılardır. 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, …

Bu derste bu bilgilerimizi üç yeni araca taşıyacağız:

🌳 Asal çarpanlara ayırma

Bir sayıyı, çarpımları o sayıyı veren asal sayıların üslü ifadeler hâlindeki çarpımı şeklinde yazma.

🤝 EBOB ve EKOK

İki doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğü ve ortak katlarının en küçüğünü bulma.

🔗 Aralarında asal

İki doğal sayının 1'den başka ortak böleni olup olmadığını belirleme.

Bu ünitede EBOB ve EKOK ile ilgili problemler paylaştırma, gruplama ve zamanlama gibi durumlarla sınırlı tutulacak; alan ve hacim hesaplamayı gerektiren problemlere girilmeyecektir.

🌳

Asal Çarpanlara Ayırma

Tanım: Bir pozitif tam sayıyı, çarpımı o sayıyı veren asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Sonuç genellikle üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılır.

Çarpan ağacı yöntemiyle bir sayı, asal olmayan çarpanlarına ayrıla ayrıla en sonunda tüm dallar asal sayılarda bitene kadar bölünür. Aşağıda 84 sayısının çarpan ağacı gösterilmiştir:

Koyu (dolgulu) daireler asal sayıları, açık daireler ise henüz bölünmeye devam eden bileşik sayıları gösterir. Hangi çarpanla başlanırsa başlansın, sonuçta bulunan asal çarpanlar ve üsleri aynıdır.

Aşağıdaki araçta kaydırıcıyla bir sayı seçin; o sayının asal çarpanlarını ve üslü ifadeler hâlindeki gösterimini birlikte görün.

Sayı84

Üslü ifadeler çarpımı

—

Bir pozitif tam sayının pozitif tam sayı çarpanlarını (bölenlerini) bulmaya yönelik çalışmalar da bu kazanımın bir parçasıdır: örneğin 84'ün çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 ve 84'tür — bunlardan yalnızca 2, 3 ve 7 asaldır.

🤝

EBOB ve EKOK

EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki (veya daha çok) doğal sayının ortak bölenlerinden en büyüğüdür.
EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki (veya daha çok) doğal sayının ortak katlarından en küçüğüdür (0 hariç).

Asal çarpanlara ayırma yöntemiyle EBOB ve EKOK şöyle bulunur:

Her iki sayı da asal çarpanlarına ayrılır.
EBOB için: sayılarda ortak olan asal çarpanlar, aralarındaki en küçük üs ile çarpılır.
EKOK için: sayılarda geçen tüm asal çarpanlar, aralarındaki en büyük üs ile çarpılır.

Uygulama

48 ve 60 sayılarının EBOB'u ve EKOK'u

48 = 2⁴ × 3 ve 60 = 2² × 3 × 5

Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3. En küçük üsleriyle: 2² × 3 = 12 → EBOB(48, 60) = 12

Tüm asal çarpanlar (2, 3, 5) en büyük üsleriyle: 2⁴ × 3 × 5 = 240 → EKOK(48, 60) = 240

Sonuç: EBOB(48, 60) = 12, EKOK(48, 60) = 240

Aşağıdaki araçta iki sayıyı kaydırıcılarla seçin; asal çarpanlarının hangilerinin ortak olduğunu, hangilerinin sadece bir sayıda bulunduğunu görüp EBOB ve EKOK'u canlı olarak inceleyin.

Sayı 148

Sayı 260

Sadece Sayı 1'de

Ortak (EBOB'u oluşturur)

Sadece Sayı 2'de

EBOB

—

EKOK

—

EBOB ve EKOK ile ilgili problemler bu derste paylaştırma / gruplama (EBOB) ve zamanlama / tekrarlama (EKOK) türü günlük hayat durumlarıyla sınırlıdır; alan ve hacim hesaplamayı gerektiren problemlere girilmez.

🔗

Aralarında Asal Sayılar

Tanım: İki doğal sayının ortak böleni yalnızca 1 ise, yani EBOB'ları 1 ise, bu iki sayıya aralarında asal denir.

Dikkat: Aralarında asal olmak, sayıların kendisinin asal olması anlamına gelmez! Örneğin 8 ve 9'un her ikisi de asal sayı değildir, ama EBOB(8, 9) = 1 olduğundan aralarında asaldırlar.

Uygulama

15 ve 28 aralarında asal mıdır?

15 = 3 × 5 ve 28 = 2² × 7

Ortak asal çarpan yoktur, dolayısıyla EBOB(15, 28) = 1.

Sonuç: EBOB'ları 1 olduğu için 15 ve 28 aralarında asaldır.

Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğuna karar verin:

20 ve 30 sayıları aralarında asaldır.

9 ve 16 sayıları aralarında asaldır.

İpucu:
20 = 2² × 5 ve 30 = 2 × 3 × 5 → ortak çarpanlar var (2 ve 5) → EBOB(20,30) = 10 ≠ 1.
9 = 3² ve 16 = 2⁴ → ortak asal çarpan yok, EBOB(9,16) = 1

✏️

Çözümlü örnekler

Örnek 1

360 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

360 = 2 × 180

180 = 2 × 90

90 = 2 × 45

45 = 3 × 15

15 = 3 × 5

Sonuç: 360 = 2³ × 3² × 5

Örnek 2

36 kg pirinç ve 60 kg mercimeği, birbirine karıştırmadan eşit kütleye sahip poşetlere paylaştırmak istiyoruz. Bu iş için en az kaç poşet gerekir?

"PAYLAŞTIRMA" ifadesi EBOB hesaplamayı gerektirir.

36 = 2² × 3² ve 60 = 2² × 3 × 5

Ortak çarpanlar en küçük üsleriyle: 2² × 3 = 12 → EBOB(36, 60) = 12 kg

→ Her bir poşet 12 kg olmalı.

36 ÷ 12 = 3 poşet pirinç

60 ÷ 12 = 5 poşet mercimek

Sonuç: En az 3 + 5 = 8 poşet gerekir.

Örnek 3

Bir basketbol takımı 8 günde bir, bir voleybol takımı ise 12 günde bir aynı spor salonunu kullanıyor. İki takım salonu bugün birlikte kullandığına göre, kaç gün sonra salonu tekrar birlikte kullanacaklardır?

"TEKRARLAMA" içeren eylemler EKOK hesaplamayı gerektirir.

8 = 2³ ve 12 = 2² × 3

Tüm çarpanlar en büyük üsleriyle: 2³ × 3 = 24 → EKOK(8, 12) = 24 gün

Sonuç: İki takım salonu 24 gün sonra tekrar birlikte kullanacaktır.

Örnek 4

Marangoz Murat Usta'nın testereyle bir tahtayı kesmesi 8 dakika sürüyor. Masanın üstünde bulunan biri 80 cm, diğeri ise 60 cm uzunluğundaki özdeş iki tahtayı eşit uzunlukta parçalara ayırması gerekiyor. Marangoz Murat Usta bu işi en az kaç dakikada tamamlar?

Parçalara ayırma eylemi olduğuna göre önce 60 ile 80'in EBOB'u bulunur:
60 = 2² × 3 × 5 ve 80 = 2⁴ × 5 → EBOB(60, 80) = 2² × 5 = 20 cm
Yani her bir parça en fazla 20 cm uzunluğunda olabilir.

Kısa tahta 60 ÷ 20 = 3 parçaya, uzun tahta ise 80 ÷ 20 = 4 parçaya ayrılır.

Bir tahtayı n parçaya ayırmak için (n − 1) kesim yapılır:
kısa tahta için 3 − 1 = 2 kesim, uzun tahta için 4 − 1 = 3 kesim gerekir.

Toplam kesim sayısı 2 + 3 = 5'tir. Her kesim 8 dakika sürdüğüne göre toplam süre 5 × 8 = 40 dakikadır.

Sonuç: Marangoz Murat Usta bu işi en az 40 dakikada tamamlar.

📝

Çalışma Soruları

1) EBOB(24, 36) kaçtır?

2) EKOK(18, 24) kaçtır?

Boşluğu doldurun:

72 ve 90 sayılarının EBOB'u:

8 ve 20 sayılarının EKOK'u:

Doğru mu, yanlış mı?

EBOB, iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür.

İki doğal sayının EKOK'u her zaman bu iki sayının çarpımına eşittir.

14 ve 21 sayıları aralarında asaldır.

📌

Özet

Bir sayının asal çarpanlara ayrılmış hâli, o sayıyı asal sayıların üslü ifadeler hâlindeki çarpımı şeklinde gösterir.

EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üsleriyle; EKOK ise tüm asal çarpanların en büyük üsleriyle çarpılmasıyla bulunur.

EBOB'u 1 olan iki doğal sayıya aralarında asal denir.

Kavram	Açıklama
Asal çarpanlara ayırma	Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazma
EBOB	Ortak bölenlerin en büyüğü — paylaştırma / gruplama problemlerinde kullanılır
EKOK	Ortak katların en küçüğü — zamanlama / tekrarlama problemlerinde kullanılır
Aralarında asal	EBOB'u 1 olan iki doğal sayı çifti

M.8.1.1 kapsamı: Alan ve hacim hesaplamayı gerektiren EBOB/EKOK problemlerine girilmez; verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığı belirlenir.

🏆

Kendini Dene