◻️
Tam Kare Sayılar ve KarekökTam kare pozitif tam sayı: Bir doğal sayının karesi olan sayılara tam kare denir (1, 4, 9, 16, 25, 36, …).
Karekök: Karesi a olan pozitif sayıya a'nın karekökü denir ve \(\sqrt{a}\) ile gösterilir: \(\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2 = a\) (b ≥ 0).
Karekök: Karesi a olan pozitif sayıya a'nın karekökü denir ve \(\sqrt{a}\) ile gösterilir: \(\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2 = a\) (b ≥ 0).
Bir kenarı n birim olan karenin alanı n² birim karedir; tersine, alanı bilinen bir karenin kenar uzunluğu, alanın karekökü alınarak bulunur. Aşağıdaki araçta kaydırıcıyla kenar uzunluğunu değiştirin:
Alan (kenar²)
25
Kenar (√alan)
5
Bu ızgarada gördüğünüz her tam kare sayı (1, 4, 9, 16, 25, …), bir karenin alanı olarak düşünülebilir; karekök ise bu karenin kenar uzunluğudur.
🎯
Tam Kare Olmayan Sayılarda TahminTam kare olmayan bir sayının karekökü iki ardışık doğal sayı arasındadır. Bu iki sayıyı bulmak için, verilen sayıya en yakın küçük ve büyük tam kareler belirlenir.
Uygulama
\(\sqrt{31}\) sayısı hangi iki doğal sayı arasındadır?
1
31'e en yakın tam kare sayılar 25 ve 36'dır. Buna göre:
2
25 < 31 < 36 → \(\sqrt{25}\) < \(\sqrt{31}\) < \(\sqrt{36}\) → 5 < \(\sqrt{31}\) < 6
3
31, 25'e 6 birim, 36'ya ise 5 birim uzaklıktadır; 36'ya daha yakın olduğundan \(\sqrt{31}\) de 6'ya daha yakındır.
Sonuç: \(\sqrt{31}\) sayısı 5 ile 6 arasındadır ve 6'ya daha yakındır.
Aşağıdaki araçta kaydırıcıyla bir sayı seçin; bu sayının karekökünün hangi iki doğal sayı arasında olduğunu görün.
✂️
a√b BiçimiKareköklü bir ifadeyi sadeleştirme: Kök içindeki sayının bir tam kare çarpanı varsa, bu çarpanın karekökü kökün dışına çıkarılarak ifade a√b biçiminde (b'nin içinde artık tam kare çarpan kalmayacak şekilde) yazılabilir. Aynı işlem tersine de yapılabilir: a√b biçimindeki bir ifadede katsayı, karesi alınarak kökün içine sokulabilir: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}\).
Uygulama
\(\sqrt{18}\) ifadesini a√b biçiminde yazınız.
1
18 sayısı, biri tam kare olan iki çarpanın çarpımı şeklinde yazılır: 18 = 9 × 2
2
\(\sqrt{18} = \sqrt{9\times2} = \sqrt{9}\times\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
Sonuç: \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
Aşağıdaki araçta kaydırıcıyla bir sayı seçin; en büyük tam kare çarpanı bulunarak yapılan sadeleştirmeyi görün.
Sadeleştirilmiş hâl
—
Kareköklü bir ifadeyi doğal sayı yapan tek bir çarpan yoktur; kök içindeki sadeleşmemiş kısmın karekökü ile çarpılan her ifade (örneğin √2, 5√2 veya √18'in kendisi) sonucu doğal sayı yapar.
✖️
Çarpma ve Bölme İşlemleria, b ≥ 0 (bölmede b > 0) olmak üzere:
\(\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{a\times b}\) · \(\sqrt{a}\div\sqrt{b} = \sqrt{a\div b}\)
\(\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{a\times b}\) · \(\sqrt{a}\div\sqrt{b} = \sqrt{a\div b}\)
Örnek
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\) işlemini yapınız.
1
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3} = \sqrt{12\times3} = \sqrt{36}\)
Sonuç: \(\sqrt{12}\times\sqrt{3} = 6\)
Örnek
\(\sqrt{72}\div\sqrt{8}\) işlemini yapınız.
1
\(\sqrt{72}\div\sqrt{8} = \sqrt{72\div8} = \sqrt{9}\)
Sonuç: \(\sqrt{72}\div\sqrt{8} = 3\)
Aşağıdaki araçta iki sayıyı kaydırıcılarla seçin; çarpma işleminin sonucunu görün.
√Sayı1 × √Sayı2
—
Paydası tek terimli olan kesirlerin rasyonelleştirilmesi: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}\) (a > 0), pay ve payda √a ile çarpılarak yapılır.
Örnek
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) kesrinin paydasını rasyonel yapınız.
1
Pay ve payda \(\sqrt{3}\) ile çarpılır.
2
Payda \(\sqrt{3}\times\sqrt{3} = 3\) olur.
Sonuç: \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Paydasında √a + c veya √a + √b gibi birden fazla terim bulunan kesirlerle rasyonelleştirme işlemine bu derste girilmez.
➕
Toplama ve Çıkarma İşlemleriBenzer kareköklü ifadeler (kök içindeki sayıları aynı olan ifadeler) toplanıp çıkarılırken, yalnızca katsayılar toplanır/çıkarılır: \(a\sqrt{c} \pm b\sqrt{c} = (a \pm b)\sqrt{c}\). Farklı görünen kareköklü ifadeler bazen sadeleştirildiğinde benzer hâle gelebilir.
Örnek
\(\sqrt{8} + \sqrt{18}\) toplamını bulunuz.
1
Önce her iki ifade de sadeleştirilir: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
2
Artık benzer kareköklü ifadeler hâline geldiler: \(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\)
3
Katsayılar toplanır: 2 + 3 = 5
Sonuç: \(\sqrt{8} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2}\)
Aşağıdaki araçta katsayıları kaydırıcılarla, işlemi de butonla seçin; benzer kareköklü ifadelerin nasıl toplanıp çıkarıldığını gözlemleyin.
Sonuç
—
🔢
Ondalık Kareköklü İfadeler ve Gerçek SayılarYöntem 1
\(\sqrt{0,25}\) ifadesinin değerini bulunuz.
1
\(0,25 = \dfrac{25}{100}\)
2
\(\sqrt{0,25} = \sqrt{\dfrac{25}{100}}\)
3
\(\sqrt{\dfrac{25}{100}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \dfrac{5}{10} = 0,5\)
Sonuç: \(\sqrt{0,25} = 0,5\)
Yöntem 1
\(\sqrt{1,44}\) ifadesinin değerini bulunuz.
1
\(1,44 = \dfrac{144}{100}\)
2
\(\sqrt{1,44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}}\)
3
\(\sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \dfrac{12}{10} = 1,2\)
Sonuç: \(\sqrt{1,44} = 1,2\)
Önemli: Karekök içindeki ondalık gösterimde virgülden sonra çift sayıda basamak varsa, baştaki sıfırlar ve virgül olmasaydı bu sayı tam kare olur muydu diye bakılır; tam kare oluyorsa bu kareköklü ifadenin değeri kesinlikle bir rasyonel sayıdır. Bu durumda aşağıdaki gibi ikinci (kısa) bir yöntem de kullanılabilir.
Yöntem 2
\(\sqrt{0,64}\) ifadesinin değerini bulunuz.
1
0,64 sayısında virgülden sonra çift sayıda (2) basamak vardır; baştaki sıfır ve virgül olmasaydı 64 olurdu.
2
64 sayısı tam kare olduğuna göre 0,64 sayısı da tam karedir.
3
Tam kare olan ondalık gösterimin karekökü, virgülden sonraki her iki basamak için bir basamak olacak şekilde ondalıklı yazılır.
4
\(\sqrt{64} = 8\) olduğuna göre, \(\sqrt{0,64} = 0,8\) yazılabilir.
Sonuç: \(\sqrt{0,64} = 0,8\)
Önemli: Karekök içindeki ondalık gösterimde virgülden sonra tek sayıda basamak varsa, bu kareköklü ifadenin değeri kesinlikle bir rasyonel sayı olmaz. Bu durumda mutlaka 1. yöntem kullanılmalı ve kök içindeki ondalık gösterim kesir şeklinde yazılarak sonuca ulaşılmalıdır.
Yöntem 1
\(\sqrt{6,4}\) ifadesinin değerini bulunuz.
1
\(6,4 = \dfrac{64}{10}\)
2
\(\sqrt{6,4} = \sqrt{\dfrac{64}{10}} = \dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{10}} = \dfrac{8}{\sqrt{10}}\)
3
Payda rasyonel yapılır: \(\dfrac{8}{\sqrt{10}} = \dfrac{8\sqrt{10}}{10} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}\)
Sonuç: \(\sqrt{6,4} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}\)
Gerçek sayılar (ℝ): Rasyonel sayılar (iki tam sayının oranı, yani kesir şeklinde yazılabilen sayılar) ile irrasyonel sayılar (bu şekilde yazılamayan sayılar) birlikte gerçek sayılar kümesini oluşturur. Tam kare olmayan bir sayının karekökü her zaman irrasyoneldir.
π sayısı da bir irrasyonel sayıdır. İrrasyonel olmasına rağmen işlemlerde kolaylık sağlaması açısından π yerine yaklaşık olarak 3, 3,14 veya \(\dfrac{22}{7}\) alınabilir.
✏️
Çözümlü örneklerÖrnek 1
\(\sqrt{150}\) ifadesini a√b biçiminde yazınız.
1
150 = 25 × 6 ve 25 tam kare bir sayı olduğuna göre,
2
\(\sqrt{150} = \sqrt{25\times6} = \sqrt{25}\times\sqrt{6} = 5\sqrt{6}\)
Sonuç: \(\sqrt{150} = 5\sqrt{6}\)
Örnek 2
\(\sqrt{48}\times\sqrt{3}\) işleminin sonucunu bulunuz.
1
\(\sqrt{48}\times\sqrt{3} = \sqrt{48\times3} = \sqrt{144}\)
Sonuç: \(\sqrt{48}\times\sqrt{3} = 12\)
Örnek 3
\(4\sqrt{2} + 3\sqrt{8}\) toplamını bulunuz.
1
Önce \(\sqrt{8}\) sadeleştirilir: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), dolayısıyla \(3\sqrt{8} = 3\times2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
2
Artık benzer kareköklü ifadeler toplanır: \(4\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\)
3
Katsayılar toplanır: 4 + 6 = 10
Sonuç: \(4\sqrt{2} + 3\sqrt{8} = 10\sqrt{2}\)
Örnek 4
\(\sqrt{1,69}\) değerini bulunuz.
1
\(1,69 = \dfrac{169}{100}\)
2
\(\sqrt{1,69} = \sqrt{\dfrac{169}{100}} = \dfrac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}\)
3
\(\sqrt{169}=13\) ve \(\sqrt{100}=10\) olduğundan sonuç \(\dfrac{13}{10}\) olur.
Sonuç: \(\sqrt{1,69} = 1,3\)
Örnek 5
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) kesrinin paydasını rasyonel yapınız.
1
Pay ve payda \(\sqrt{5}\) ile çarpılır: payda \(\sqrt{5}\times\sqrt{5} = 5\) olur.
Sonuç: \(\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
Örnek 6
\(\sqrt{62,5}\) değerini bulunuz.
1
62,5 sayısında virgülden sonra tek basamak (1) olduğundan kesir yöntemi kullanılır: \(62,5 = \dfrac{625}{10}\)
2
\(\sqrt{62,5} = \sqrt{\dfrac{625}{10}} = \dfrac{\sqrt{625}}{\sqrt{10}} = \dfrac{25}{\sqrt{10}}\)
3
Payda rasyonel yapılır: \(\dfrac{25}{\sqrt{10}} = \dfrac{25\sqrt{10}}{10}\)
4
Pay ve payda 5 ile sadeleştirilir: \(\dfrac{25\sqrt{10}}{10} = \dfrac{5\sqrt{10}}{2}\)
Sonuç: \(\sqrt{62,5} = \dfrac{5\sqrt{10}}{2}\)
📝
Çalışma Soruları1) \(\sqrt{98}\) ifadesinin a√b biçimindeki sadeleştirilmiş hâli hangisidir?
2) \(\sqrt{45}\times\sqrt{5}\) işleminin sonucu kaçtır?
Boşluğu doldurun:
\(\sqrt{1,21}\) değeri (virgülle yazınız):
\(\sqrt{64} + \sqrt{36}\) toplamı:
Doğru mu, yanlış mı?
\(\sqrt{7}\) sayısı bir irrasyonel sayıdır.
\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) işleminin sonucu \(\sqrt{5}\)'tir.
22/7, π sayısı için işlemlerde kolaylık sağlaması amacıyla kullanılabilecek bir yaklaşık değerdir.
8. sınıfta, paydasında \(\sqrt{a} + b\) gibi birden fazla terim bulunan kesirleri de rasyonelleştireceğiz.
📌
ÖzetBir tam kare pozitif tam sayının karekökü, o sayıyı alan kabul eden karenin kenar uzunluğudur.
Tam kare olmayan bir sayının karekökü, o sayıya en yakın küçük ve büyük tam karelerin kareköklerinin (ardışık iki doğal sayının) arasındadır.
\(\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{a\times b}\) ve \(\sqrt{a}\div\sqrt{b} = \sqrt{a\div b}\); benzer kareköklü ifadelerde ise yalnızca katsayılar toplanır/çıkarılır: \(a\sqrt{c} \pm b\sqrt{c} = (a\pm b)\sqrt{c}\).
Payı ve paydası tam kare olan kesir biçimindeki ondalık sayıların karekökü, payın ve paydanın kareköklerinin oranıdır. Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyoneldir.
| Kavram | Açıklama |
|---|---|
| Tam kare | Bir doğal sayının karesi olan sayı |
| a√b biçimi | Kök içindeki tam kare çarpanın dışarı çıkarılmış hâli |
| Rasyonelleştirme | Tek terimli kareköklü paydayı kesirsiz (rasyonel) hâle getirme |
| İrrasyonel sayı | İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayı |
| Gerçek sayılar (ℝ) | Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi |
M.8.1.3 kapsamı: Paydasında √a±c veya √a±√b gibi birden fazla terim bulunan ifadelerle işlemlere girilmez; iki nokta arası uzaklık formülü bu ünitede verilmez.
🏆
Kendini Dene