🔤
Cebire GirişTerimler ve kavramlar: özdeşlik, çarpanlara ayırma (bu iki kavramı ilerideki derslerimizde daha ayrıntılı işleyeceğiz); bu dosyada ayrıca terim, katsayı, değişken ve sabit terim kavramlarını kullanacağız.
Cebirsel ifade, sayılar ile bir veya daha fazla değişkenin (bilinmeyenin) işlemlerle bir araya gelmesinden oluşan ifadelerdir. Aşağıdaki ifadeler, bu dersin temel örnekleridir:
x + 53xx²-6y²a².b2a + 2b
Bu hafta işlenecek kazanımlarda katsayılar her zaman tam sayılardan seçilecektir; kesirli veya ondalıklı katsayılarla işlem yapılmayacaktır.
🧩
Terim, Katsayı ve Değişken
Değişken: Değeri değişebilen, harflerle gösterilen büyüklüktür (x, y, a, b gibi).
Terim: Bir cebirsel ifadede + veya − işaretleriyle birbirinden ayrılan her bir parçadır.
Katsayı: Bir terimdeki sayısal çarpandır.
Sabit terim: İçinde değişken bulunmayan terimdir.
Terim: Bir cebirsel ifadede + veya − işaretleriyle birbirinden ayrılan her bir parçadır.
Katsayı: Bir terimdeki sayısal çarpandır.
Sabit terim: İçinde değişken bulunmayan terimdir.
Dikkat: Sabit terim de bir katsayı olarak kabul edilir. Örneğin "7x + 4" ifadesinde katsayılar 7 ve 4'tür; 4 sabit terim olmasına rağmen kendisi aynı zamanda bir katsayı sayılır.
Uygulama
"7x² − 3x + 4" ifadesinin terimlerini ve katsayılarını belirleyiniz.
1
1. terim: 7x² → katsayısı 7
2
2. terim: −3x → katsayısı −3
3
3. terim: 4 → sabit terim, katsayısı da 4'tür.
Sonuç: İfadenin 3 terimi vardır; katsayılar sırasıyla 7, −3 ve 4'tür.
Aşağıdaki araçta kaydırıcılarla bir "ax² + bx + c" ifadesi oluşturun; terimlerin ve katsayıların canlı olarak nasıl değiştiğini gözlemleyin.
Cebirsel ifade
—
Terimler ve katsayıları:
🔁
Cebirsel İfadeleri Farklı Biçimlerde YazmaAynı cebirsel ifade, ortak çarpan parantezine alma veya terimleri farklı gruplama gibi yollarla birbirine denk (eşdeğer) farklı biçimlerde yazılabilir. Bu ifadeler, değişkenin her değeri için aynı sonucu verir.
2a + 2b = 2(a + b)
Her iki terimde de ortak çarpan durumunda olan 2 katsayısı, parantezin dışına çarpan olarak yazılmıştır.
n + n + n = 3n
Aynı terimin üç kez toplanması, 3n şeklinde kısaca yazılabilir.
[(1 tane n) + (1 tane n) + (1 tane n) = (3 tane n)]
Aşağıdaki araçta a'nın ve b'nin alacağı değerleri seçin;
"2a + 2b" ile "2(a + b)" ifadelerinin her zaman aynı sayısal sonucu verdiğini görün.
2 · 4 + 2 · 6
—
2 · (4+6)
—
a ve b hangi değeri alırsa alsın, "2a + 2b" ile "2(a + b)" ifadeleri her zaman birbirine eşit sonuç verir;
2·a + 2·b = 2·(a + b)
2·a + 2·b = 2·(a + b)
✖️
Tek Terimle Çarpma (Dağılma Özelliği)Tek terimin çok terimli bir cebirsel ifadeyle çarpımında, dağılma özelliği kullanılır:
Dışarıdaki terim, parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpılır;
a(b + c) = a∙b + a∙c
Dışarıdaki terim, parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpılır;
a(b + c) = a∙b + a∙c
Uygulama
y(3y − 2) şeklinde verilen çarpma işlemini yapınız.
1
y terimi, parantez içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır:
2
y'yi önce 3y ile sonra da (−2) ile çarparız;
3
y∙3y = 3y² bulunur ve y∙(−2) = −2y bulunur.
4
Yaptığımız çarpma işlemlerinin sonuçlarını toplayarak işlemi tamamlarız.
Sonuç: y(3y − 2) = 3y² − 2y
Aşağıdaki kaydırıcıları kullanarak k(ax + b) biçimindeki bir çarpımın katsayılarını belirleyin;
dağılma özelliğinin uygulanmış hâlini canlı olarak görebilirsiniz.
İfade
—
Açılmış hâli
—
✖️✖️
İki Terimlilerin Çarpımıİki terimli bir ifadeyi bir başka iki terimli ifadeyle çarparken, birinci parantezdeki her bir terim, ikinci parantezdeki her bir terimle ayrı ayrı çarpılır; bulunan sonuçlar toplanır.
Uygulama
(2x + 3)(5x − 1) işlemini yapınız.
1
İlk parantezdeki ilk terim (2x), ikinci parantezdeki ilk terimle (5x) çarpılır:
2
2x∙5x = 10x²
3
İlk parantezdeki ilk terim (2x), ikinci parantezdeki ikinci terimle (-1) çarpılır:
4
2x∙(−1) = −2x
5
İlk parantezdeki ikinci terim (+3), ikinci parantezdeki ilk terimle (5x) çarpılır:
6
3∙5x = 15x
7
İlk parantezdeki ikinci terim (+3), ikinci parantezdeki ikinci terimle (-1) çarpılır:
8
3∙(−1) = −3
9
Benzer terimler varsa [(−2x) ve (15x)] toplanır: −2x + 15x = 13x
Sonuç: (2x + 3)(5x − 1) = 10x² + 13x − 3
Aşağıdaki araçta (ax + b)(cx + d) biçimindeki bir çarpımın katsayılarını kaydırıcılarla seçin; sonucu canlı olarak görün.
İfade
—
Açılmış hâli
—
📐
Alan Modeliyle Çarpmaİki terimli cebirsel ifadelerin çarpımı, bir dikdörtgenin alanı olarak da modellenebilir:
Dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları çarpanları, oluşan dört küçük dikdörtgensel bölgenin alanları ise cevaptaki terimleri temsil eder.
Dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları çarpanları, oluşan dört küçük dikdörtgensel bölgenin alanları ise cevaptaki terimleri temsil eder.
Aşağıdaki kaydırıcıda (x + a)(x + b) çarpımındaki a ve b değerlerini belirleyin; alan modelinin nasıl oluştuğunu görün. (x'in kendisi bilinmeyen bir uzunluk olduğu için modelde sabit bir uzunlukla temsil edilmiştir.)
(x + a)(x + b) =
—
✏️
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
"5x² − 3x + 8" ifadesindeki terimleri, katsayıları ve sabit terimi belirleyiniz.
1
Terimler: 5x², −3x ve 8'dir.
2
Katsayılar sırasıyla 5, −3 ve 8'dir.
Sonuç: Sabit terim 8'dir; bu ifadenin 3 terimi ve 3 katsayısı vardır.
Örnek 2
"3a + 3b" ifadesini ortak çarpan kullanarak yazınız.
1
Her iki terimin de ortak çarpanı 3'tür.
Sonuç: 3a + 3b = 3(a + b)
Örnek 3
y(4y + 5) çarpımını yapınız.
1
y∙4y = 4y² ve y∙5 = 5y
Sonuç: y(4y + 5) = 4y² + 5y
Örnek 4
(x + 4)(x + 6) çarpımını yapınız.
1
x∙x = x², x∙6 = 6x, 4∙x = 4x, 4∙6 = 24
2
Benzer terimler toplanır: 6x + 4x = 10x
Sonuç: (x + 4)(x + 6) = x² + 10x + 24
Örnek 5
(3x − 2)(2x + 5) çarpımını yapınız.
1
3x∙2x = 6x², 3x∙5 = 15x, −2∙2x = −4x, −2∙5 = −10
2
Benzer terimler toplanır: 15x − 4x = 11x
Sonuç: (3x − 2)(2x + 5) = 6x² + 11x − 10
Örnek 6
Bir dikdörtgenin uzun kenarı (x + 7) cm, kısa kenarı ise (x + 2) cm'dir. Bu dikdörtgenin alanını veren cebirsel ifadeyi yazınız ve x = 3 değeri için alanı hesaplayınız.
1
Dikdörtgenin alanı, iki kenarın çarpımıdır: (x + 7)(x + 2)
2
x∙x = x², x∙2 = 2x, 7∙x = 7x, 7∙2 = 14
3
Benzer terimler toplanır: 2x + 7x = 9x
4
Alan = x² + 9x + 14
5
x = 3 için: 3² + 9∙3 + 14 = 9 + 27 + 14 = 50
Sonuç: Alan = x² + 9x + 14 cm²; x = 3 için alan 50 cm²'dir.
📝
Çalışma Soruları1) "6x − 9" ifadesinin ortak çarpanla farklı yazımı hangisidir?
2) x(2x − 7) çarpımının sonucu hangisidir?
3) (x − 3)(x + 8) çarpımının sonucu hangisidir?
Boşluğu doldurun:
"4a" teriminin katsayısı:
(x + 5)(x + 5) çarpımının sabit terimi:
Doğru mu, yanlış mı?
Bir cebirsel ifadede sabit terim aynı zamanda bir katsayı olarak da kabul edilir.
"3x²" ifadesinde katsayı x²'dir.
İki terimlinin çarpımında, birinci parantezdeki her terim ikinci parantezdeki her terimle çarpılır.
2(a + b) ile 2a + 2b ifadeleri birbirine denktir.
📌
ÖzetBir cebirsel ifadede terimler + veya − işaretiyle ayrılır; her terimin bir katsayısı vardır ve sabit terim de bir katsayı olarak kabul edilir.
Aynı cebirsel ifade, ortak çarpan parantezine alma gibi yöntemlerle birbirine denk farklı biçimlerde yazılabilir.
Tek terimle çarpmada dağılma özelliği kullanılır: a(b + c) = ab + ac.
İki terimlinin çarpımında, birinci parantezdeki her terim ikinci parantezdeki her terimle çarpılır; sonunda benzer terimler toplanır.
İki terimlinin çarpımı, bir dikdörtgenin alanı modeliyle de gösterilebilir.
| Kavram | Açıklama |
|---|---|
| Terim | + veya − ile ayrılan her bir parça |
| Katsayı | Bir terimdeki sayısal çarpan (sabit terim dâhil) |
| Değişken | Değeri değişebilen, harfle gösterilen büyüklük |
| Dağılma özelliği | a(b + c) = ab + ac |
| Alan modeli | Çarpımı bir dikdörtgenin alanı olarak gösterme |
M.8.2.1.1: Cebirsel ifadelerdeki katsayılar tam sayılardan seçilir
M.8.2.1.2: Çarpma işlemi modellerle de desteklenir.
M.8.2.1.2: Çarpma işlemi modellerle de desteklenir.
🏆
Kendini Dene