🔗
Özdeşliklere GirişÖzdeşlik, içindeki değişkenlerin alabileceği her değer için her zaman doğru olan eşitliktir. Geçen hafta iki terimli cebirsel ifadelerin çarpımını [(x+a)(x+b) gibi] tek tek dağıtarak buluyorduk; bu hafta ise çok sık karşılaşacağımız üç özel çarpma işlemini, dağıtmaya gerek gerek kalmadan tanımayı ve doğrudan cevaplamayı öğreneceğiz.
(a + b)(a + b)
(a + b)²
İki terimin toplamının karesi
(a − b)(a − b)
(a − b)²
İki terimin farkının karesi
(a + b)(a − b)
a² − b²
İki kare farkı
Bu konuda yalnızca bu üç özdeşlikle sınırlı kalınacaktır.
Özdeşliklerdeki katsayılar tam sayılardan seçilecektir.
Özdeşliklerdeki katsayılar tam sayılardan seçilecektir.
🟥
(a + b)² Özdeşliği(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²
Bu özdeşlik, bir kenarı (a + b) olan büyük bir karenin alanı üzerinden modellenebilir. Büyük kare, biri a² alanında, biri b² alanında ve ikisi de ab alanında olan dört parçaya ayrılır.
Toplamın karesi
—
Özdeşlikle sonuç
—
Uygulama
(x + 3)² işlemini yapın.
1
Özdeşlikte a yerine x, b yerine ise 3 yazılır:
2
(a + b)² = a² + 2ab + b² → (x + 3)² = x² + 2∙x∙3 + 3²
(Birincinin karesi) + (Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı) + (İkincinin karesi)
Sonuç: (x + 3)² = x² + 6x + 9
🟦
(a − b)² Özdeşliği(a − b)(a − b) = a² − 2ab + b²
Bir kenarı a olan büyük kareyi, (a − b) ve b uzunluklarına göre dört parçaya ayırırsak, köşedeki (a − b) kenarlı karenin alanının, büyük karenin alanından iki dikdörtgen çıkarılıp bir küçük kare eklenerek bulunduğunu görürüz: a² = (a−b)² + 2b(a−b) + b², buradan (a − b)² = a² − 2ab + b² elde edilir.
Örneğin a = 7, b = 3 olsun: a² = 49, 2ab = 42, b² = 9. (a−b)² = 49 − 42 + 9 = 16 = 4² ve gerçekten (7−3)² = 4² = 16'dır.
Aşağıdaki araçta a ve b'yi kaydırıcılarla seçin; (a−b)² değeri ile a²−2ab+b² değerinin her zaman birbirine eşit çıktığını doğrulayın.
(a−b)²
—
a²−2ab+b²
—
Uygulama
(x − 5)² işlemini yapın.
1
Özdeşlikte a yerine x, b yerine ise 5 yazılır:
2
(a − b)² = a² − 2ab + b² → (x − 5)² = x² − 2∙x∙5 + 5²
(Birincinin karesi) − (Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı) + (İkincinin karesi)
Sonuç: (x − 5)² = x² − 10x + 25
🔲
a² − b² (İki Kare Farkı)(a + b)(a − b) = a² − b²
Bir kenarı a olan büyük bir karenin köşesinden bir kenarı b olan küçük bir kare çıkarılırsa geriye kalan alan a²−b²'dir. Bu L biçimindeki alan, kenarları (a−b) ve (a+b) olan bir dikdörtgene dönüştürülebilir; iki şeklin alanı birbirine eşittir.
Uygulama
(x + 4)(x − 4) işlemini yapın.
1
Özdeşlikte a yerine x, b yerine ise 4 yazılır:
2
(a + b)(a − b) = a² − b² → (x + 4)(x − 4) = x² − 4²
(Birincinin karesi) − (İkincinin karesi)
Sonuç: (x + 4)(x − 4) = x² − 16
Uygulama
(x² − 11)(x² + 11) işlemini yapın.
1
Özdeşlikte a yerine x², b yerine ise 11 yazılır:
2
(a − b)(a + b) = a² − b² → (x² − 11)(x² + 11) = (x²)² − 11²
(Birincinin karesi) − (İkincinin karesi)
Sonuç: (x² − 11)(x² + 11) = x⁴ − 121
Uygulama
(x + 6)(6 − x) işlemini yapın.
1
İki parantezde terimlerin sırası farklı → Çıkarma İşlemi olan parantezdeki sıraya uyarız: (6 + x)(6 − x)
2
Özdeşlikte a yerine 6, b yerine ise x yazılır:
3
(a + b)(a − b) = a² − b² → (6 + x)(6 − x) = 6² − x²
(Birincinin karesi) − (İkincinin karesi)
Sonuç: (x + 6)(6 − x) = 36 − x²
🔍
Özdeşlikleri Tanıma ve Uygulama| Özdeşlik | Açılımı | Tanıma İpucu |
|---|---|---|
| (a + b)(a + b) | a² + 2ab + b² | İki parantezde de "+" var |
| (a − b)(a − b) | a² − 2ab + b² | İki parantezde de "-" var |
| (a − b)(a + b) | a² − b² | Bir parantezde "+" diğer parantezde "-" var |
"x² + 20x + 100" ifadesi hangi özdeşlikle elde edilmiştir?
"y² − 36" ifadesi hangi çarpma işleminin sonucudur?
⚡
Özdeşliklerle Hızlı HesaplamaÖzdeşlikler, bazı çarpma işlemlerini zihinden hızlıca yapmamıza yardımcı olur. Sıfırla biten, zihinden hızlıca çarpabileceğimiz bir sayıya yakın sayıların bulunduğu işlemlerde özdeşlikleri kullanmak işlemi kolaylaştırır.
Örnek
52² değerini özdeşlik kullanarak hızlıca hesaplayınız.
1
52 = 50 + 2 olarak yazılır.
2
52² = (50+2)² = 50² + 2∙50∙2 + 2² = 2500 + 200 + 4
[Birincinin karesi] + [Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı] + [İkincinin karesi]
Sonuç: 52² = 2704
Örnek
98² değerini özdeşlik kullanarak hızlıca hesaplayınız.
1
98 = 100 − 2 olarak yazılır.
2
98² = (100−2)² = 100² − 2∙100∙2 + 2² = 10000 − 400 + 4
[Birincinin karesi] − [Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı] + [İkincinin karesi]
Sonuç: 98² = 9604
Örnek
97 × 103 işlemini özdeşlik kullanarak hızlıca yapın.
1
97 = 100−3 ve 103 = 100+3 olarak yazılır.
2
97 × 103 = (100−3)(100+3) = 100² − 3² = 10000 − 9
[Birincinin karesi] − [İkincinin karesi]
Sonuç: 97 × 103 = 9991
Aşağıdaki araçta 100'e yakın bir sayı seçin; bu sayının karesinin (100 ± fark)² özdeşliğiyle nasıl hızlıca hesaplandığını görün.
✏️
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
(x + 7)² işlemini yapın.
1
a=x, b=7 olduğuna göre: (x + 7)² = x² + 2∙x∙7 + 7²
[Birincinin karesi] + [Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı] + [İkincinin karesi]
Sonuç: (x + 7)² = x² + 14x + 49
Örnek 2
(2x − 3)² işlemini yapın.
1
a=2x, b=3 olduğuna göre: (2x − 3)² = (2x)² − 2∙2x∙3 + 3²
[Birincinin karesi] − [Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı] + [İkincinin karesi]
Sonuç: (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9
Örnek 3
x² − 25 ifadesi hangi çarpma işleminin sonucudur?
1
25 = 5² olduğundan, a=x, b=5 alınır.
Sonuç: x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
Örnek 4
(x + 11)(x − 11) çarpımını özdeşlik kullanarak hızlıca bulunuz.
1
Bu çarpım, iki kare farkı özdeşliğine uygundur:
1
(a − b)(a + b) = a² − b² → (x + 11)(x − 11) = x² − 11²
[Birincinin karesi] − [İkincinin karesi]
Sonuç: (x + 11)(x − 11) = x² − 121
Örnek 5
998² değerini özdeşlik kullanarak hızlıca hesaplayınız.
1
998 = 1000 − 2 olarak yazılır.
2
998² = (1000−2)² = 1000² − 2∙1000∙2 + 2² = 1.000.000 − 4.000 + 4
[Birincinin karesi] − [Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı] + [İkincinin karesi]
Sonuç: 998² = 996.004
Örnek 6
(x + 4)² − (x − 4)² ifadesinin en sade hâlini bulunuz.
1
Bu işlem, iki kare farkı özdeşliğine uygundur:
2
a yerine (x + 4) ve b yerine ise (x − 4) yazılmış;
3
a² − b² = (a + b)(a − b) → (x + 4)² − (x − 4)² = [(x + 4) + (x − 4)][(x + 4) − (x − 4)]
[Birincinin karesi] − [İkincinin karesi]
4
→ (x + 4)² − (x − 4)² = [x + 4 + x − 4][x + 4 − x + 4]
5
→ (x + 4)² − (x − 4)² = [2x][8]
Sonuç: (x + 4)² − (x − 4)² = 16x
Örnek 7
x² − y² = 45 ve x − y = 5 olduğuna göre x + y kaçtır?
1
Bu ifadeler, iki kare farkı özdeşliğinde geçiyor: (x − y)(x + y) = x² − y²
2
Özdeşlikte (x − y)'nin yerine 5, (x² − y²)'nin yerine de 45 yazarız;
3
5 ∙ (x + y) = 45 → (x + y)'yi bulmak için 45'i 5'e böleriz → (x + y) = 45 ÷ 5
Sonuç: x + y = 9
📝
Çalışma Soruları1) (x + 9)² işleminin sonucu hangisidir?
2) x² − 49 ifadesi hangi işlemin sonucudur?
3) (3x − 1)² ifadesinin en sade hâli hangisidir?
Boşluğu doldurun:
(x + 2)² − (x − 2)² ifadesinin sadeleştirilmiş hâlinde x'in katsayısı:
47 × 53 çarpımı, (50−3)(50+3) özdeşliğiyle hesaplandığında sonuç:
Doğru mu, yanlış mı?
(a + b)² ifadesi her zaman a² + b²'ye eşittir.
a² − b² = (a − b)(a + b) özdeşliği iki kare farkı olarak bilinir.
(a − b)² açılımında ortadaki terimin işareti eksidir.
97 × 103 çarpımı, iki kare farkı özdeşliği kullanılarak 100² − 3² şeklinde hesaplanabilir.
📌
Özet(a + b)² = a² + 2ab + b² — bir kenarı (a+b) olan karenin alanı modeliyle gösterilir.
(a − b)² = a² − 2ab + b² — büyük kareden iki dikdörtgen çıkarılıp bir küçük kare eklenerek elde edilir.
a² − b² = (a − b)(a + b) — bir kareden çıkarılan küçük bir karenin geri kalan alanı, kenarları (a−b) ve (a+b) olan bir dikdörtgene eşittir.
Bu özdeşlikler, 100'e yakın sayıların çarpımı gibi işlemleri zihinden hızlıca hesaplamak için de kullanılabilir.
| Özdeşlik | Açılımı |
|---|---|
| (a + b)(a + b) | a² + 2ab + b² |
| (a − b)(a − b) | a² − 2ab + b² |
| (a − b)(a + b) | a² − b² |
M.8.2.1.3 kapsamı: Yalnızca bu üç özdeşlikle sınırlı kalınır; özdeşliklerdeki katsayılar tam sayılardan seçilir.
🏆
Kendini Dene