🔀
Çarpanlara Ayırmaya GirişÇarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi, çarpımları o ifadeyi veren daha basit ifadelerin (çarpanların) çarpımı şeklinde yazma işlemidir; bir bakıma çarpma işleminin tersidir. Geçen hafta özdeşlikleri "açarak" kullanmıştık; bu hafta aynı özdeşlikleri "tersine" kullanarak ifadeleri çarpanlarına ayıracağız.
| Çarpma | Çarpanlara Ayırma |
|---|---|
| 3(2x + 3) = 6x + 9 | 6x + 9 = 3(2x + 3) |
| (x − 5)(x + 5) = x² − 25 | x² − 25 = (x − 5)(x + 5) |
| (x + 8)² = x² + 16x + 64 (x − 8)² = x² − 16x + 64 | x² + 16x + 64 = (x + 8)² x² − 16x + 64 = (x − 8)² |
Bu derste yalnızca bu üç yöntem ele alınır. Gruplandırarak çarpanlarına ayırma yöntemine ve tam kare olmayan ikinci dereceden ifadelerin (örneğin x²+5x+6 gibi) çarpanlarına ayrılmasına girilmez. Katsayılar ve kökler her zaman tam sayı olacak şekilde seçilir.
🧲
Ortak Çarpan Parantezine Almaax + ay = a(x + y)
Bir ifadenin tüm terimlerinde bulunan ortak çarpanlar belirlenip parantez dışına alınır. Bu, dağılma özelliğinin tersine uygulanmasıdır.
Bir ifadenin tüm terimlerinde bulunan ortak çarpanlar belirlenip parantez dışına alınır. Bu, dağılma özelliğinin tersine uygulanmasıdır.
Uygulama
6x² + 9x ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
6 ve 9'un ortak çarpanı (EBOB'u) 3'tür. Ayrıca, her iki terimde de birer tane x vardır.
2
Ortak çarpan 3x parantez dışına alınır:
3
6x² = 2 · 3 · x · x → 3x parantez dışına çıkınca içerde 2x kalır.
4
9x = 3 · 3 · x → 3x parantez dışına çıkınca içerde 3 kalır.
Sonuç: 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Aşağıdaki araçta "px² + qx" biçimindeki bir ifadenin katsayılarını kaydırıcılarla seçin; ortak çarpanın nasıl bulunduğunu canlı olarak görün.
İfade
—
Çarpanlarına ayrılmış hâli
—
🔲
İki Kare Farkı ile Çarpanlara Ayırmaa² − b² = (a − b)(a + b).
Bu yöntem, yalnızca iki terimli ve her iki terimi de tam kare olan, aralarında çıkarma işlemi bulunan ifadelerde kullanılır.
Bu yöntem, yalnızca iki terimli ve her iki terimi de tam kare olan, aralarında çıkarma işlemi bulunan ifadelerde kullanılır.
Uygulama
x² − 49 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
x² → tam karedir.
2
49 → tam karedir.
3
Aralarında "−" işareti de olduğuna göre, iki kare farkı özdeşliği uygulanır;
4
a = x ve b = 7
Sonuç: x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
Aşağıdaki araçta b değerini kaydırıcıyla seçin; "x² − b²" ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâlini canlı olarak görün.
İfade
—
Çarpanlarına ayrılmış hâli
—
Dikkat: x² − 50 gibi bir ifadede 50 bir tam kare olmadığından bu yöntem uygulanamaz.
🟪
Tam Kare İfadeleri Çarpanlara Ayırmaa² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
Bir ifadenin tam kare olup olmadığını anlamak için ilk ve son terimlerin tam kare olup olmadığına,
ortadaki terimin de (ilk terimin karekökü)·(son terimin karekökü) çarpımının iki katına eşit olup olmadığına bakılır.
a² − 2ab + b² = (a − b)²
Bir ifadenin tam kare olup olmadığını anlamak için ilk ve son terimlerin tam kare olup olmadığına,
ortadaki terimin de (ilk terimin karekökü)·(son terimin karekökü) çarpımının iki katına eşit olup olmadığına bakılır.
Uygulama
x² − 14x + 49 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
İlk terim: x² → tam karedir. (x'in karesi)
2
Son terim: 49 → tam karedir. (7'nin karesi)
3
x·7 = 7x → İki katı = 14x = Ortadaki terim
4
Verilen cebirsel ifade tam karedir ve bu özdeşlik kullanılarak çarpanlarına ayrılır;
4
İlk terimin karekökünü (x), ikinci terimin karekökünü (7) ve ortadaki terimin önündeki işareti (−) kullanırız:
Sonuç: x² − 14x + 49 = (x − 7)²
Aşağıdaki araçta b'yi kaydırıcıyla, işareti de butonla seçin; tam kare ifadenin çarpanlarına ayrılmış hâlini canlı olarak görün.
İfade
—
Çarpanlarına ayrılmış hâli
—
🧭
Hangi Yöntemi Kullanmalıyım?| İfadenin Görünümü | Kullanılacak Yöntem |
|---|---|
| Tüm terimlerde ortak bir çarpan var | Ortak çarpan parantezine alma |
| İki terim, ikisi de tam kare, aralarında "−" | İki kare farkı |
| Üç terim; ilk ve son terim tam kare, ortadaki terim 2ab'ye eşit | Tam kare ifade |
"8x² − 12x" ifadesi hangi yöntemle çarpanlarına ayrılır?
"x² − 100" ifadesi hangi yöntemle çarpanlarına ayrılır?
"x² + 16x + 64" ifadesi hangi yöntemle çarpanlarına ayrılır?
🔗
Çok Adımlı Çarpanlara AyırmaÇarpanlara ayırma sorularında, ortak çarpan içeren cebirsel ifadelerle sık sık karşılaşırız. Bu sebeple, özdeşliklerden yararlanma seçeneğinden önce mutlaka ortak çarpan var mı diye bakmalıyız. Ortak çarpan parantezine aldıktan sonra, parantez içindeki cebirsel ifade özdeşliklerden birinden yararlanılarak çarpanlarına ayrılabilir.
Uygulama
2x² − 18 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
Önce ortak çarpan var mı diye bakılır:
2
2x² = 2 · x · x ve 18 = 2 · 9
3
Ortak çarpan olan 2, parantez dışına alınır: 2x² − 18 = 2(x² − 9)
4
Parantez içindeki x² − 9 ifadesi iki kare farkıdır: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
5
Önceki adımda belirlediğimiz ortak çarpan olan 2'yi de cevaba yazmayı unutmamalıyız.
Sonuç: 2x² − 18 = 2(x − 3)(x + 3)
Uygulama
3x² + 30x + 75 ifadesini tam olarak çarpanlarına ayırınız.
1
Önce ortak çarpan var mı diye bakılır:
2
3x² = 3 · x · x ; 30x = 3 · 10 · x ; 75 = 3 · 25
3
Ortak çarpan olan 3, parantez dışına alınır: 3x² + 30x + 75 = 3(x² + 10x + 25)
4
Parantez içindeki x² + 10x + 25 ifadesi bir tam karedir: x² + 10x + 25 = (x + 5)²
5
Önceki adımda belirlediğimiz ortak çarpan olan 3'ü de cevaba yazmayı unutmamalıyız.
Sonuç: 3x² + 30x + 75 = 3(x + 5)²
Çarpanlara ayırma işlemini tamamladıktan sonra, parantezlere son bir kez daha göz atmak; halen ortak çarpan içeren bir ifade, tam kare bir ifade ya da iki kare farkı şeklinde bir ifade kalıp kalmadığını belirlemek gerekir. Bazen parantezlerin biri yüzünden işleme devam etmek gerekebilir.
Uygulama
x⁴ − 16 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
Ortak çarpan yok.
2
x⁴ = (x²)² ve 16 = 4² olduğundan iki terim de tam kare ve aralarında "−" işareti var.
İki kare farkı özdeşliği kullanılır.
3
x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4)
4
(x² − 4) parantezinde yine iki tane tam kare terim ve aralarında "−" işareti var.
5
x² → x, 4 → 2, dolayısıyla x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
6
Önceki adımda bulduğumuz (x² + 4) çarpanını da cevaba yazmayı unutmamalıyız.
Sonuç: x⁴ − 16 = (x² + 4)(x − 2)(x + 2)
Bazı ifadeler doğrudan bir özdeşliğe uymasa da, sabit terimi uygun biçimde iki parçaya ayırarak ("tamamlama" tekniği) tam kare ve iki kare farkı özdeşlikleriyle çarpanlarına ayrılabilir. Aşağıdaki örnek bu tekniği göstermektedir.
Uygulama
x² + 10x + 21 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
Ortak çarpan yoktur; ifade hiçbir özdeşliğe doğrudan uymuyor gibi görünmektedir.
2
Sabit terim "+25" olsaydı ifade tam kare olacaktı (çünkü 2∙x∙5=10x ve 5²=25). Bu nedenle 21, 25−4 şeklinde yazılır.
3
x² + 10x + 21 = x² + 10x + 25 − 4 = (x + 5)² − 2²
4
(x + 5)² − 2² ifadesi bir iki kare farkıdır: (x + 5 − 2)(x + 5 + 2)
Sonuç: x² + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3)
Çok adımlı çarpanlara ayırmada her zaman önce ortak çarpan kontrol edilmeli, ardından kalan ifadenin bir özdeşlik olup olmadığına (veya tamamlama tekniğiyle bir özdeşliğe dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğine) bakılmalıdır.
➗
Rasyonel Cebirsel İfadeleri SadeleştirmeBir kesri sadeleştirirken payın ve paydanın ortak çarpanlarını bulmamız gerektiğini hatırlarsınız:
Örnek: \(\dfrac{15}{20} = \dfrac{3\cdot5}{4\cdot5} = \dfrac{3}{4}\)
Benzer şekilde, içinde cebirsel ifadeler bulunan rasyonel ifadeleri sadeleştirmek için de payı ve paydayı önce çarpanlarına ayırmamız, ardından ortak çarpanları sadeleştirmemiz gerekir.
Uygulama
\(\dfrac{a^2-49}{a^2-14a+49}\) ifadesini sadeleştiriniz.
1
Pay iki kare farkıdır: \(a^2-49=(a-7)(a+7)\)
2
Payda tam karedir: \(a^2-14a+49=(a-7)(a-7)\)
3
\(\dfrac{a^2-49}{a^2-14a+49} = \dfrac{(a-7)(a+7)}{(a-7)(a-7)}\)
4
Payda ve paydada ortak bulunan (a−7) çarpanı sadeleştirilir.
Sonuç: \(\dfrac{a^2-49}{a^2-14a+49} = \dfrac{a+7}{a-7}\)
Uygulama
\(\dfrac{3a+27}{a^2-81}\) ifadesini sadeleştiriniz.
1
Pay ortak çarpan parantezine alınır: \(3a+27=3(a+9)\)
2
Payda iki kare farkıdır: \(a^2-81=(a-9)(a+9)\)
3
\(\dfrac{3a+27}{a^2-81} = \dfrac{3(a+9)}{(a-9)(a+9)}\)
4
Payda ve paydada ortak bulunan (a+9) çarpanı sadeleştirilir.
Sonuç: \(\dfrac{3a+27}{a^2-81} = \dfrac{3}{a-9}\)
Uygulama
\(\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-9}\) ifadesini sadeleştiriniz.
1
Pay tam karedir: \(x^2+6x+9=(x+3)(x+3)\)
2
Payda iki kare farkıdır: \(x^2-9=(x+3)(x-3)\)
3
\(\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-9} = \dfrac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-3)}\)
4
Payda ve paydada ortak bulunan (x+3) çarpanı sadeleştirilir.
Sonuç: \(\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-9} = \dfrac{x+3}{x-3}\)
Uygulama
\(\dfrac{x^2-24x+144}{x^2-144}\) ifadesini en sade biçimde yazınız.
1
Pay tam karedir: \(x^2-24x+144=(x-12)(x-12)\)
2
Payda iki kare farkıdır: \(x^2-144=(x+12)(x-12)\)
3
\(\dfrac{x^2-24x+144}{x^2-144} = \dfrac{(x-12)(x-12)}{(x+12)(x-12)}\)
4
Payda ve paydada ortak bulunan (x−12) çarpanı sadeleştirilir.
Sonuç: \(\dfrac{x^2-24x+144}{x^2-144} = \dfrac{x-12}{x+12}\)
Uygulama
\(\dfrac{x^2-196}{x^2+28x+196}\) işlemini yapınız.
1
Pay iki kare farkıdır: \(x^2-196=(x+14)(x-14)\)
2
Payda tam karedir: \(x^2+28x+196=(x+14)(x+14)\)
3
\(\dfrac{x^2-196}{x^2+28x+196} = \dfrac{(x+14)(x-14)}{(x+14)(x+14)}\)
4
Payda ve paydada ortak bulunan (x+14) çarpanı sadeleştirilir.
Sonuç: \(\dfrac{x^2-196}{x^2+28x+196} = \dfrac{x-14}{x+14}\)
Sadeleştirme yapılırken yalnızca çarpan durumundaki ortak ifadeler sadeleştirilebilir; toplama veya çıkarma ile bağlanan terimler tek tek sadeleştirilemez. Bu nedenle sadeleştirmeden önce pay ve paydayı çarpanlarına ayırmak zorunludur.
✏️
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
5x + 15 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
Önce ortak çarpana bakılır:
2
5x = 5 · 1 ; 15 = 5 · 3 → ortak çarpan 5
Sonuç: 5x + 15 = 5(x + 3)
Örnek 2
x² − 9 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
Önce ortak çarpana bakılır: Ortak çarpan yok.
2
Hem 9 hem de x² tam kare ve aralarında "−" var → İki kare farkı özdeşliği
2
a = x ve b = 3
Sonuç: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Örnek 3
x² + 12x + 36 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
Önce ortak çarpana bakılır: Ortak çarpan yok.
1
İlk ve son terimler tam kare, 2·x·6 = 12x, ifadedeki orta terimle eşleşiyor.
Sonuç: x² + 12x + 36 = (x + 6)²
Örnek 4
4x² − 25 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
4x² = (2x)² ve 25 = 5² olduğundan a = 2x, b = 5
Sonuç: 4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5)
Örnek 5
3x² − 27 ifadesini tam olarak çarpanlarına ayırınız.
1
Önce ortak çarpan 3 alınır: 3x² − 27 = 3(x² − 9)
2
x² − 9 iki kare farkıdır: (x − 3)(x + 3)
Sonuç: 3x² − 27 = 3(x − 3)(x + 3)
Örnek 6
2x² + 20x + 50 ifadesini tam olarak çarpanlarına ayırınız.
1
Önce ortak çarpan 2 alınır: 2x² + 20x + 50 = 2(x² + 10x + 25)
2
x² + 10x + 25 bir tam karedir: (x + 5)²
Sonuç: 2x² + 20x + 50 = 2(x + 5)²
Örnek 7
Bir dikdörtgenin alanı (x² − 64) cm² olarak veriliyor. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları x cinsinden ne olabilir? x = 10 için kenar uzunluklarını bulunuz.
1
x² − 64 ifadesi iki kare farkıdır: x² − 64 = (x − 8)(x + 8)
2
Kenar uzunlukları (x − 8) cm ve (x + 8) cm olabilir.
3
x = 10 için: (10 − 8) = 2 cm ve (10 + 8) = 18 cm
Sonuç: Kenar uzunlukları x=10 için 2 cm ve 18 cm'dir.
Örnek 8
m² − 12m + 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
1
Ortak çarpan yoktur; ifade hiçbir özdeşliğe doğrudan uymuyor gibi görünmektedir.
2
Sabit terim "+36" olsaydı tam kare olacaktı (2∙m∙6=12m, 6²=36); bu nedenle 27, 36−9 şeklinde yazılır.
3
m² − 12m + 27 = m² − 12m + 36 − 9 = (m − 6)² − 3²
4
(m − 6)² − 3² ifadesi bir iki kare farkıdır: (m − 6 − 3)(m − 6 + 3)
Sonuç: m² − 12m + 27 = (m − 9)(m − 3)
Örnek 9
\(\dfrac{x^2-20x+100}{x^2-100}\) ifadesini en sade biçimde yazınız.
1
Pay tam karedir: \(x^2-20x+100=(x-10)(x-10)\)
2
Payda iki kare farkıdır: \(x^2-100=(x+10)(x-10)\)
3
\(\dfrac{x^2-20x+100}{x^2-100} = \dfrac{(x-10)(x-10)}{(x+10)(x-10)}\)
4
Payda ve paydada ortak bulunan (x−10) çarpanı sadeleştirilir.
Sonuç: \(\dfrac{x^2-20x+100}{x^2-100} = \dfrac{x-10}{x+10}\)
📝
Çalışma Soruları1) "10x − 25" ifadesinin çarpanlara ayrılmaış hâli hangisidir?
2) x² − 121 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hâli hangisidir?
3) x² − 18x + 81 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hâli hangisidir?
Boşluğu doldurun:
"4x² + 8x" ifadesinin ortak çarpanının sayısal kısmı:
"x² − 4x + 4" ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâlinde parantez içindeki sabit terim (işaretiyle):
Doğru mu, yanlış mı?
Her ikinci dereceden ifade, tam kare veya iki kare farkı yöntemiyle çarpanlarına ayrılabilir.
Ortak çarpan parantezine alma, dağılma özelliğinin tersine uygulanmasıdır.
x² − 50 ifadesi, iki kare farkı yöntemiyle çarpanlarına ayrılabilir çünkü 50 bir tam karedir.
Bu derste gruplandırarak çarpanlarına ayırma yöntemi kullanılmaz.
📌
ÖzetÇarpanlara ayırma, çarpma işleminin tersidir: bir ifadeyi daha basit ifadelerin çarpımı şeklinde yazma işlemidir.
Ortak çarpan parantezine alma: ax + ay = a(x + y)
İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b)
Tam kare ifadeler: a² + 2ab + b² = (a + b)², a² − 2ab + b² = (a − b)²
Bazı ifadelerde önce ortak çarpan alınır, sonra kalan ifade bir özdeşlik olarak çarpanlarına ayrılır.
| Yöntem | Ne Zaman Kullanılır |
|---|---|
| Ortak çarpan | Tüm terimlerde ortak bir çarpan varsa |
| İki kare farkı | İki terim, ikisi de tam kare, aralarında "−" varsa |
| Tam kare ifade | Üç terim; ilk-son terim tam kare, orta terim 2ab'ye eşitse |
M.8.2.1.4 kapsamı: Gruplandırarak çarpanlarına ayırma yöntemine ve tam kare olmayan ikinci dereceden ifadelerin çarpanlarına ayrılmasına girilmez; katsayılar ve kökler tam sayı olarak seçilir.
🏆
Kendini Dene