🧮
Bu Haftaya Genel BakışTerimler ve kavramlar: Bu konuda denklem, koordinat sistemi, orijin ve sıralı ikili kavramlarını işleyeceğiz.
Bu etkinlik dosyasında birbiriyle bağlantılı iki farklı konumuz var:
🧮 Denklem Çözme
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözeceğiz. Önceki yıllarda bu konuda edindiğimiz becerileri biraz daha geliştireceğiz. Ayrıca 8. sınıf düzeyinde katsayılar artık kesirli (rasyonel) sayılar da olabilecek.
📍 Koordinat Sistemi
Bir düzlemde bir noktanın yerini sıralı ikili (x, y) ile nasıl belirttiğimizi öğreneceğiz.
Önümüzdeki haftalarda, bu iki beceriyi birleştirerek doğrusal denklemlerin grafiklerini çizeceğiz; bu yüzden ikisini de sağlam öğrenmemiz önemli.
⚖️
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemleri ÇözmeÖzdeşlik, içinde en az bir tane bilinmeyen bulunan ve bilinmeyene verilen tüm değerler için doğru olan eşitliklerdir.
Denklem ise içinde en az bir tane bilinmeyen bulunan ve bilinmeyene verilen bazı değerler için doğru olan eşitliklerdir. Bir denklemi çözmek, eşitliği doğru yapan bilinmeyenin değerini bulmaktır. Denklem çözmenin temel mantığı, bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinenleri de eşitliğin diğer tarafına taşımaktır. Bilinmeyen yalnız kaldığında denklem çözülmüş olur. Denklemin her iki tarafına aynı işlem (aynı sayıyı ekleme/çıkarma, aynı sayı ile çarpma/bölme) uygulandığında eşitlik bozulmaz.
Denklem ise içinde en az bir tane bilinmeyen bulunan ve bilinmeyene verilen bazı değerler için doğru olan eşitliklerdir. Bir denklemi çözmek, eşitliği doğru yapan bilinmeyenin değerini bulmaktır. Denklem çözmenin temel mantığı, bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinenleri de eşitliğin diğer tarafına taşımaktır. Bilinmeyen yalnız kaldığında denklem çözülmüş olur. Denklemin her iki tarafına aynı işlem (aynı sayıyı ekleme/çıkarma, aynı sayı ile çarpma/bölme) uygulandığında eşitlik bozulmaz.
Uygulama
3x + 7 = 22 denklemini çözünüz.
1
Her iki taraftan 7 çıkarılır: 3x = 15
2
Her iki taraf 3'e bölünür: x = 5
Sonuç: x = 5
Aşağıdaki araçta "ax + b = c" biçimindeki bir denklemin katsayılarını kaydırıcılarla seçin; çözümün canlı olarak nasıl bulunduğunu görün.
Denklem
—
Çözüm
—
➗
Rasyonel Katsayılı DenklemlerBu sınıf düzeyinde denklemlerdeki katsayılar kesir veya ondalık gösterimli rasyonel sayılar da olabilir. Çözüm yöntemi aynıdır; sadece işlemler kesirlerle yapılır.
Uygulama
\(\dfrac{1}{3}x - 2 = 5\) denklemini çözünüz.
1
Her iki tarafa 2 eklenir: \(\dfrac{1}{3}x = 7\)
2
Her iki taraf 3 ile çarpılır (ya da \(\dfrac{1}{3}\)'e bölünür): x = 21
Sonuç: x = 21
Aşağıdaki araçta \(\dfrac{p}{q}x + b = c\) biçimindeki bir denklemin katsayılarını kaydırıcılarla seçin; çözümün kesir olarak nasıl bulunduğunu canlı olarak görün.
Denklem
—
Çözüm
—
Kesirli denklemlerde çözümün de bir kesir çıkması normaldir; sonucu her zaman en sade hâlde bırakmalıyız.
📍
Koordinat Sistemiİki sayı doğrusunun (yatay x ekseni ve dikey y ekseni) birbirine dik biçimde, sıfır noktalarında (orijin: O(0, 0)) kesişmesiyle oluşan sisteme koordinat sistemi denir. x eksenine Apsisler Ekseni, y eksenine ise Ordinatlar Ekseni adı verilir. Bu eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır.
| Bölge | x işareti | y işareti |
|---|---|---|
| I. Bölge | + | + |
| II. Bölge | − | + |
| III. Bölge | − | − |
| IV. Bölge | + | − |
Aşağıdaki araçta x ve y değerlerini kaydırıcılarla seçin; noktanın koordinat düzleminde nereye düştüğünü ve hangi bölgede (veya eksen üzerinde) olduğunu görün.
Sıralı ikili
(3, 2)
Konum
—
🗺️
Sıralı İkilileri GöstermeKoordinat sistemi, gerçek hayatta bir yerin konumunu belirtmek için de kullanılır.
Sinemaya, tiyatroya gittiğimizde biletimizde yazan sıralı ikili sayesinde doğru koltuğu bulmamız kolaylaşır; A5, E12, K9, vs gibi sıralı ikililer yardımıyla, hangi sıradaki kaçıncı koltuğa oturmamız gerektiğini anlarız. Örneğin 250 koltuk olan bir tiyatro salonunda koltuk numaraları 1'den 250'ye kadar sıralanmış olsaydı ve biletimizde "Koltuk No: 142" yazıyor olsaydı, yerimizi bulmamız oldukça zorlaşırdı.
Koordinatlar ve sıralı ikililer, haritaların da temel elemanlarıdır; haritadaki bir noktanın yerini tarif etmek için sıralı ikilileri kullanmak, işleri oldukça kolaylaştırı. Örnek olarak, bir haritadaki üç önemli noktanın koordinatlarını (tam yerini) gösteren sıralı ikililer aşağıda verilmiştir:
Sinemaya, tiyatroya gittiğimizde biletimizde yazan sıralı ikili sayesinde doğru koltuğu bulmamız kolaylaşır; A5, E12, K9, vs gibi sıralı ikililer yardımıyla, hangi sıradaki kaçıncı koltuğa oturmamız gerektiğini anlarız. Örneğin 250 koltuk olan bir tiyatro salonunda koltuk numaraları 1'den 250'ye kadar sıralanmış olsaydı ve biletimizde "Koltuk No: 142" yazıyor olsaydı, yerimizi bulmamız oldukça zorlaşırdı.
Koordinatlar ve sıralı ikililer, haritaların da temel elemanlarıdır; haritadaki bir noktanın yerini tarif etmek için sıralı ikilileri kullanmak, işleri oldukça kolaylaştırı. Örnek olarak, bir haritadaki üç önemli noktanın koordinatlarını (tam yerini) gösteren sıralı ikililer aşağıda verilmiştir:
Kütüphane I. bölgede, Okul II. bölgede, Market ise III. bölgededir. Her nokta, x ekseninde kaç birim ve y ekseninde kaç birim gidileceğini gösteren bir sıralı ikili ile tam olarak tanımlanır.
Aşağıdaki araçta kendi noktanızı (örneğin "Ev") kaydırıcılarla yerleştirin; sıralı ikilisini ve düştüğü bölgeyi görün.
Ev noktası
—
✏️
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
5x − 9 = 2x + 12 denklemini çözünüz.
1
Bilinmeyenli terimler bir tarafta toplanır: 5x − 2x = 12 + 9
2
3x = 21
Sonuç: x = 7
Örnek 2
2(x − 4) = 10 denklemini çözünüz.
1
Parantez dağıtılır: 2x − 8 = 10
2
2x = 18
Sonuç: x = 9
Örnek 3
\(\dfrac{2}{5}x - 3 = 1\) denklemini çözünüz.
1
Her iki tarafa 3 eklenir: \(\dfrac{2}{5}x = 4\)
2
Her iki taraf \(\dfrac{5}{2}\) ile çarpılır: x = 10
Sonuç: x = 10
Paydasında harf bulunmamak şartıyla, birden fazla rasyonel ifade (kesir) içeren denklemleri çözmek için kullanılabilecek pratik bir yöntem şudur:
• Paydası olmayan terimler varsa önce onlara yalancı payda yazılır.
• Cebirsel ifadedeki tüm paydalar eşitlenir.
• Cebirsel ifadedeki tüm paydalar silinir.
• Artık kesir içermeyen denklem, temel yöntemler kullanılarak çözülür.
• Paydası olmayan terimler varsa önce onlara yalancı payda yazılır.
• Cebirsel ifadedeki tüm paydalar eşitlenir.
• Cebirsel ifadedeki tüm paydalar silinir.
• Artık kesir içermeyen denklem, temel yöntemler kullanılarak çözülür.
ÖNEMLİ: Bu yöntemde yapılacak en büyük hata, kesirlerin paydalarını eşitlemeden paydaları silmektir.
Örnek 4
\(\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{x-1}{3} + 2\) denklemini çözünüz.
1
Kesirli ifadeler içerdiği için, paydası olmayan terime yalancı payda yazıp paydaları eşitleriz.
2
\(\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{x-1}{3} + \dfrac{2}{1} \Rightarrow \dfrac{3x+3}{6} = \dfrac{2x-2}{6} + \dfrac{12}{6}\)
3
Tüm paydalar eşitlendiğine göre, paydaları sileriz: \(3x+3 = 2x-2+12\)
4
Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinenleri ise diğer tarafına taşırız: \(3x-2x = -2+12-3\)
Sonuç: x = 7
Örnek 5
\(\dfrac{x+6}{4} - 2x = \dfrac{3x-4}{6} + 10\) denklemini çözünüz.
1
Kesirli ifadeler içerdiği için, paydası olmayan terimlere yalancı payda yazıp paydaları eşitleriz.
2
\(\dfrac{x+6}{4} - \dfrac{2x}{1} = \dfrac{3x-4}{6} + \dfrac{10}{1}\)
3
\(\dfrac{3x+18}{12} - \dfrac{24x}{12} = \dfrac{6x-8}{12} + \dfrac{120}{12}\)
4
Tüm paydalar eşitlendiğine göre, paydaları sileriz: \(3x+18-24x = 6x-8+120\)
5
Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinenleri ise diğer tarafına taşırız: \(3x-24x-6x = -8+120-18 \Rightarrow -27x = 94\)
Sonuç: \(x = -\dfrac{94}{27}\)
Örnek 6
\(\dfrac{a+4}{4} = 5 - \dfrac{a-4}{2}\) denklemini çözünüz.
1
Kesirli ifadeler içerdiği için, paydası olmayan terimlere yalancı payda yazıp paydaları eşitleriz.
2
\(\dfrac{a+4}{4} = \dfrac{5}{1} - \dfrac{a-4}{2} \Rightarrow \dfrac{a+4}{4} = \dfrac{20}{4} - \dfrac{2a-8}{4}\)
3
Tüm paydalar eşitlendiğine göre, paydaları sileriz.
4
Önemli nokta: kesrin önünde "−" işareti varsa, o kesrin paydası silindiğinde payındaki işaretler değişir: \(a+4 = 20-(2a-8) \Rightarrow a+4=20-2a+8\)
5
Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinenleri ise diğer tarafına taşırız: \(a+2a=20+8-4 \Rightarrow 3a=24\)
Sonuç: a = 8
Örnek 7
\(\dfrac{m-8}{6} = \dfrac{m+2}{4}\) denklemini çözünüz.
1
Kesirli ifadeler içerdiği için paydaları eşitleriz: \(\dfrac{2m-16}{12} = \dfrac{3m+6}{12}\)
2
Tüm paydalar eşitlendiğine göre, paydaları sileriz: \(2m-16 = 3m+6\)
3
Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinenleri ise diğer tarafına taşırız: \(-16-6 = 3m-2m\)
Sonuç: m = −22
Çözülmesi istenen denklemde eşitliğin her iki tarafında birer rasyonel ifade varsa kullanılacak bir başka pratik yöntem de içler-dışlar çarpımı (çapraz çarpım) yaparak kesirlerden kurtulmaktır.
Örnek 8
\(\dfrac{m-8}{6} = \dfrac{m+2}{4}\) denklemini çözünüz. (Yukarıda çözülen denklemi başka bir yöntemle çözelim.)
1
Eşitliğin her iki tarafında birer rasyonel ifade olduğuna göre, içler-dışlar çarpımı yaparız:
2
\(4(m-8) = 6(m+2)\)
3
Dağılma özelliğini kullanırız: \(4m-32 = 6m+12\)
4
Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinenleri ise diğer tarafına taşırız: \(-32-12 = 6m-4m \Rightarrow -44=2m\)
Sonuç: m = −22
Örnek 9
Bir sayının yarısı ile yine aynı sayının beşte ikisinin toplamı 108 olduğuna göre bu sayı kaçtır?
1
Bilinmeyen sayı "x" olsun.
2
Sayının yarısı: \(\dfrac{x}{2}\); sayının beşte ikisi: \(\dfrac{2x}{5}\)
3
Toplam: \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{2x}{5}=108\)
4
\(\dfrac{5x}{10}+\dfrac{4x}{10}=108 \Rightarrow \dfrac{9x}{10}=108\)
5
Eşitliğin iki tarafında birer kesir olduğuna göre içler-dışlar çarpımı yapılır: \(9x \cdot 1 = 108 \cdot 10 \Rightarrow 9x=1080\)
Sonuç: x = 120
Örnek 10
\(\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{x-1}{3} + 2\) denklemini çözünüz.
1
Tüm paydaları 6'da eşitleyip paydaları sileriz: 3(x+1) = 2(x−1) + 12
2
Parantezleri dağıtırız: 3x + 3 = 2x − 2 + 12 → 3x + 3 = 2x + 10
3
Bilinmeyenleri bir tarafta toplarız: 3x − 2x = 10 − 3
Sonuç: x = 7
Örnek 11
A(4, −5) noktası hangi bölgededir?
1
x koordinatı (4) pozitif, y koordinatı (−5) negatiftir.
2
x'in pozitif, y'nin negatif olduğu bölge IV. bölgedir.
Sonuç: A noktası IV. bölgededir.
Örnek 12
Bir noktanın koordinatları (a − 3, 2a + 1) olarak veriliyor. Bu nokta y ekseni üzerinde olduğuna göre a kaçtır?
1
y ekseni üzerindeki noktaların apsisi 0'dır.
2
x = 0 → a − 3 = 0
Sonuç: a = 3
📝
Çalışma Soruları1) 4x − 5 = 11 denkleminin çözümü kaçtır?
2) \(\dfrac{1}{2}x + 4 = 9\) denkleminin çözümü kaçtır?
3) B(−4, 5) noktası hangi bölgededir?
Boşluğu doldurun:
3x + 2 = 17 denkleminin çözümü:
\(\dfrac{2}{3}x = 8\) denkleminin çözümü:
Doğru mu, yanlış mı?
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı (y) 0'dır.
(0, 0) noktası koordinat sisteminin orijinidir.
II. bölgedeki noktaların hem x hem y koordinatı pozitiftir.
Bir denklemin her iki tarafına aynı sayı eklenirse denklemin çözümü değişmez.
📌
ÖzetBir denklemi çözmek için her iki tarafa aynı işlem uygulanır.
Koordinat sistemi, birbirine dik x ve y eksenlerinin orijinde (0, 0) kesişmesiyle oluşur ve düzlemi dört bölgeye ayırır.
Bir noktanın konumu, (x, y) şeklinde yazılan bir sıralı ikili ile tam olarak belirtilir;
x ekseni üzerindeki noktalarda y = 0, y ekseni üzerindeki noktalarda x = 0'dır.
x ekseni üzerindeki noktalarda y = 0, y ekseni üzerindeki noktalarda x = 0'dır.
| Bölge | x işareti | y işareti |
|---|---|---|
| I | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
8. sınıf konularında denklemlerdeki katsayılar rasyonel sayı da olabilir.
🏆
Kendini Dene