8. SINIF MATEMATİK · M.8.2.2.3

Doğrusal İlişkiyi Tablo ve Denklemle İfade Etme

Bağımlı ve bağımsız değişken, doğrusal ilişkiyi tablo, sıralı ikili ve denklemle ifade etme

🔗
Bu Derse Genel Bakış

Önceki derste birinci dereceden denklemleri çözmeyi ve koordinat sistemini öğrenmiştik. Bu derste, aralarında doğrusal ilişki bulunan iki değişkenden birinin diğerine bağlı olarak nasıl değiştiğini; bu ilişkiyi tablo, sıralı ikili ve denklem ile nasıl ifade edebileceğimizi öğreneceğiz.

📋 Tablo

Bir değişkenin çeşitli değerlerine karşılık gelen diğer değişkenin değerlerini düzenli biçimde gösterir.

📍 Sıralı İkili

Tablodaki her satır, bir (x, y) sıralı ikilisi olarak da yazılabilir.

✏️ Denklem

İki değişken arasındaki ilişkiyi genel bir kuralla (örneğin y = kx + b) ifade eder.

Bu üç gösterim biçimi (tablo, sıralı ikili, denklem) aynı ilişkiyi farklı biçimlerde anlatır; birinden diğerine geçebilmek bu dersin temel becerisidir.
🔄
Bağımlı ve Bağımsız Değişken
Bağımsız değişken: Değeri serbestçe seçilen, diğer değişkeni etkileyen değişkendir (genellikle x ile gösterilir).
Bağımlı değişken: Değeri, bağımsız değişkenin aldığı değere göre belirlenen değişkendir (genellikle y ile gösterilir).
Uygulama
Bir otoparkta araç başına saatlik ücret 8 TL'dir. Kalınan saat sayısı ile ödenecek ücret arasındaki ilişkide hangisi bağımlı, hangisi bağımsız değişkendir?
1
Önce kalınan saat sayısı belirlenir; ödenecek ücret bu saat sayısına göre hesaplanır.
Sonuç: Kalınan saat sayısı bağımsız değişken, ödenecek ücret ise bağımlı değişkendir.
Bir ailenin bir ayda harcadığı elektrik miktarı (kWh) ile ödeyeceği aylık elektrik faturası arasındaki ilişkide hangisi bağımsız değişkendir?
📋
Doğrusal İlişkiyi Tablo İle İfade Etme
Aralarında doğrusal ilişki bulunan iki değişken, bağımsız değişkenin çeşitli değerlerine karşılık gelen bağımlı değişken değerlerinin yazıldığı bir değer tablosu ile ifade edilebilir.
Uygulama
Bir kırtasiyede 1 defterin fiyatı 12 TL'dir. Alınan defter sayısı (n) ile ödenecek ücret (y) arasındaki ilişkiyi tablo ile gösteriniz.
1
Defter sayısı bağımsız, ücret bağımlı değişkendir; her defter için 12 TL ödenir.
n (defter)12345
y (TL)1224364860

Aşağıdaki araçta defter sayısını kaydırıcıyla seçin; ödenecek ücretin nasıl hesaplandığını canlı olarak görün.

Defter sayısı (n)3
Cebirsel ifade = Ücret
12n = 36 TL
📍
Sıralı İkililer ve Tablo
Bir tablodaki her satır, bir (x, y) sıralı ikilisi olarak da yazılabilir. Bu sıralı ikililer, koordinat düzleminde birer nokta olarak gösterilebilir.
Uygulama
y = 2x + 1 ilişkisine göre x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 için oluşan sıralı ikilileri yazınız ve koordinat düzleminde gösteriniz.
1
Her x değeri için y = 2x + 1 formülü uygulanır:
x012345
y1357911
Sonuç: Sıralı ikililer (0,1), (1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11)'dir.
Noktaların bir doğru üzerinde sıralandığını görebilirsiniz; bu, ilişkinin doğrusal olduğunun görsel bir işaretidir (doğrunun kendisini önümüzdeki haftalarda çizeceğiz).
✏️
Doğrusal İlişkiyi Denklemle İfade Etme
Tablodaki örüntü genelleştirilerek, bağımsız değişken (x) ile bağımlı değişken (y) arasındaki ilişki bir denklemle ifade edilebilir: y = kx + b biçiminde, k bağımsız değişkenin katsayısını, b ise sabit terimi gösterir.
Uygulama
Bir taksinin açılış ücreti 10 TL, kilometre başına ücreti ise 5 TL'dir. Aşağıdaki tabloyu inceleyerek gidilen kilometre (x) ile ödenecek ücret (y) arasındaki ilişkiyi denklemle ifade ediniz.
x (km)0123
y (TL)10152025
1
x=0 iken y=10 olduğundan sabit terim 10'dur (açılış ücreti).
2
x her 1 birim arttığında y 5 birim artmaktadır; bu nedenle x'in katsayısı 5'tir.
Sonuç: y = 5x + 10

Aşağıdaki araçta k ve b değerlerini kaydırıcılarla seçerek kendi doğrusal ilişkinizi oluşturun; denklemin ve buna karşılık gelen tablonun nasıl değiştiğini görün.

k (x katsayısı)3
b (sabit terim)2
Denklem
—
🔁
Tablodan Denkleme, Denklemden Tabloya
Bir tablodan denklem çıkarırken önce x=0 için y değerine (sabit terim), ardından x her 1 arttığında y'nin ne kadar değiştiğine (katsayı) bakılır.
Aşağıdaki tabloya göre n ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem hangisidir?
n0123
y271217
Aşağıdaki tabloya göre n ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem hangisidir?
n0123
y78910
Aşağıdaki tabloya göre n ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem hangisidir?
n1234
y8162432
Aşağıdaki tabloya göre n ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem hangisidir?
n0123
y−1193959
Aşağıdaki tabloya göre n ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem hangisidir?
n0123
y61−4−9
✏️
Çözümlü Örnekler
Örnek 1
Okul kantininde bir simit 25 TL'den satılıyor. n tane simit alan Ece'nin ödeyeceği ücret y TL olduğuna göre, y ile n arasındaki ilişkiyi denklemle ifade ediniz ve n = 1, 2, 3, 4 değerleri için tabloyu oluşturunuz.
1
Her simit 25 TL olduğundan denklem: y = 25n
Sonuç: y = 25n
n1234
y255075100
Örnek 2
y = 3x − 2 doğrusal ilişkisine göre x = 0, 1, 2, 3, 4 için y değerlerini bulup tabloyu oluşturunuz.
1
y = 3x − 2 denkleminde x yerine 0, 1, 2, 3 ve 4 yazarak bu sayılara karşılık gelen y değerlerini buluruz:
2
x = 0 → y = 3 · 0 −2 → y = −2
3
x = 1 → y = 3 · 1 −2 → y = 1
4
x = 2 → y = 3 · 2 −2 → y = 4
5
x = 3 → y = 3 · 3 −2 → y = 7
6
x = 4 → y = 3 · 4 −2 → y = 10
Sonuç: y değerleri sırasıyla −2, 1, 4, 7, 10'dur.
x01234
y−214710
Örnek 3
Aşağıdaki tabloya göre x ile y arasındaki denklemi bulunuz.
x1234
y7101316
1
x değeri her 1 birim arttığında y değeri 3 birim artıyor. Bu nedenle denklemde x'in katsayısı 3'tür.
→
Denklem "y = 3x" şeklinde başlıyor.
2
"3x"ten sonra gelecek sabit terimi bulmak için x değerlerinden herhangi bir tanesini y = 3x ifadesinde yerine yazarak tabloda karşılık gelen y değerine ulaşıp ulaşamadığımıza bakarız.
3
Örneğin x = 1 değerini deneyelim:
4
x = 1 → y = 3 · 1 = 3
5
Tabloda x = 1 değerine karşılık gelen y değeri 7 olduğu halde biz 3'e ulaştık (Ulaşmamız gereken sayının 4 eksiğine ulaştık).
6
O halde sabit terim olarak 4 eklersek bu eksikliği gidermiş oluruz.
→
Sabit terim +4'tür.
Sonuç: y = 3x + 4
Örnek 4
Bir su deposunda başlangıçta 500 litre su vardır ve depo dakikada 20 litre boşalmaktadır. Kalan su miktarı (y) ile geçen süre (x) arasındaki ilişkiyi denklemle ifade ediniz. 10 dakika sonra depoda kaç litre su kalır?
1
Başlangıç miktarı 500 litre, her dakika 20 litre azaldığından: y = 500 − 20x
2
x=10 için: y = 500 − 20(10) = 500 − 200
Sonuç: y = 500 − 20x; 10 dakika sonra depoda 300 litre su kalır.
Örnek 5
Aşağıdaki tabloda bir yakıt deposundaki mazot miktarının zamana göre değişimi verilmiştir. Bu ilişkiyi ifade eden denklemi bulunuz ve hangi değişkenin bağımlı, hangisinin bağımsız olduğunu belirtiniz.
Süre (dk)0102030
Mazot (L)80604020
1
Yakıt miktarı süreye bağlı olarak değiştiğine göre; süre bağımsız değişken, yakıt miktarı ise bağımlı değişkendir.
2
Her 10 dakikada yakıt miktarı 20 litre azalmaktadır; her bir dakikada kaç litre azaldığını bulmalıyız:
3
20 ÷ 10 = 2 litre
4
Azalma olduğu için, denklem "y = -2x" şeklinde başlamalıdır.
5
x = 0 iken y = 80 olduğuna göre sabit terim "+80" olur.
Sonuç: Süre (x) bağımsız değişken, mazot miktarı (y) ise bağımlı değişkendir. Denklem: y = -2x + 80 ("y = 80 − 2x" de yazabiliriz)
Örnek 6
Bir fabrikada üretilen ürün sayısı ile geçen süre arasındaki ilişki y = 45x + 120 denklemiyle ifade edilmektedir (x: saat, y: ürün sayısı). 6 saat sonra kaç ürün üretilmiş olur?
1
x=6 denklemde yerine konur: y = 45(6) + 120 = 270 + 120
Sonuç: 6 saat sonra 390 ürün üretilmiş olur.
Örnek 7
Aşağıdaki tabloda x ve y arasında doğrusal bir ilişki vardır. Buna göre x = 25 için y değeri kaçtır?
x1234
y5132129
1
x değeri her 1 birim arttığında y değeri 8 birim artıyor. Bu nedenle denklemde x'in katsayısı 8'dir.
→
Denklem "y = 8x" şeklinde başlıyor.
2
"8x"ten sonra gelecek sabit terimi bulmak için x değerlerinden herhangi bir tanesini y = 8x ifadesinde yerine yazarız ve tabloda karşılık gelen y değerine ulaşıp ulaşamadığımıza bakarız.
3
Örneğin x = 1 değerini deneyelim:
4
x = 1 → y = 8 · 1 = 8
5
Tabloda x = 1 değerine karşılık gelen y değeri 5 olduğu halde biz 8'e ulaştık (Ulaşmamız gereken sayının 3 fazlasına ulaştık).
6
O halde sabit terim olarak 3 çıkarırsak bu fazlalığı gidermiş oluruz.
→
Sabit terim "−3" olur.
7
Doğrusal ilişkinin denklemini "y = 8x - 3" şeklinde belirlemiş olduk.
8
y = 8x - 3 ifadesinde x yerine 25 yazarsak, y = 8 · 25 − 3
Sonuç: x = 25 için y = 197
📝
Çalışma Soruları
1) Bir yayın uzunluğu, üzerine asılan ağırlığa bağlı olarak değişmektedir. Bu ilişkide hangi değişken bağımsızdır?
2) x: 0, 1, 2, 3 için y: 4, 7, 10, 13 olduğuna göre denklem hangisidir?
3) y = 2x + 5 denklemine göre x = 3 için y kaçtır?

Boşluğu doldurun:

y = 7x − 3 ilişkisinde x = 4 için y:
Bir tabloda x=2 iken y=9, x=5 iken y=21 ise x'in katsayısı:

Doğru mu, yanlış mı?

Bağımsız değişkenin değeri, bağımlı değişkenin değerine göre belirlenir.
Bir doğrusal ilişkiye ait tablodaki her (x, y) satırı bir sıralı ikili olarak yazılabilir.
y = 4x + 7 ilişkisinde x bağımsız, y bağımlı değişkendir.
Doğrusal bir ilişkide bağımsız değişken 1 birim arttığında bağımlı değişken her zaman aynı miktarda değişir.
📌
Özet
Bağımsız değişken serbestçe seçilir; bağımlı değişkenin değeri, bağımsız değişkenin aldığı değere göre belirlenir.
Doğrusal bir ilişki, bağımsız değişkenin değerlerine karşılık gelen bağımlı değişken değerlerini gösteren bir tablo ile ifade edilebilir.
Tablodaki her (x, y) satırı bir sıralı ikili olarak da yazılabilir.
Bir tablodaki örüntü genelleştirilerek y = kx + b biçiminde bir denklem elde edilir: b, x=0 iken y'nin değeridir; k ise x her 1 arttığında y'nin ne kadar değiştiğidir.
GösterimAçıklama
Tablox ve y değerlerini satır/sütun hâlinde gösterir
Sıralı ikili(x, y) biçiminde tek bir çift
Denklemy = kx + b biçiminde genel kural
M.8.2.2.3 kapsamı: Tablo gösterimlerinde sıralı ikili biçimindeki ifadelere de yer verilir; hangi değişkenin bağımlı, hangisinin bağımsız olduğu incelenir.
🏆
Kendini Dene