📈
Bu Derse Genel BakışÖnceki derste doğrusal ilişkileri tablo, sıralı ikili ve denklemle ifade etmeyi öğrenmiştik. Bu derste, bir doğrusal denklemin grafiğini nasıl çizeceğimizi; doğrunun eksenleri hangi noktalarda kestiğini, eksenlere paralel olup olmadığını ve orijinden geçip geçmediğini nasıl belirleyeceğimizi öğreneceğiz.
📍 İki Nokta Yöntemi
Bir doğruyu çizmek için iki nokta bulup birleştirmek yeterlidir.
✂️ Eksen Kesim Noktaları
Doğrunun x ve y eksenlerini kestiği noktalar özel bir öneme sahiptir.
↔️ Özel Doğrular
Eksenlere paralel ve orijinden geçen doğruların kendine özgü özellikleri vardır.
Bu dersteki tüm grafikler, okunabilirliği en üst düzeyde tutmak için sabit ve ölçülü bir ızgara boyutunda çizilmiştir.
📍
İki Nokta Yöntemiyle Doğru Çizmeİki nokta bir doğruyu tam olarak belirler. Bir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için, denklemde x'e iki farklı değer verip karşılık gelen y değerlerini buluruz; bulunan iki noktayı işaretleyip bir doğru ile birleştiririz.
Uygulama
y = 2x + 1 doğrusunun grafiğini çiziniz.
1
x = 0 için: y = 2(0) + 1 = 1 → nokta (0, 1)
2
x = 2 için: y = 2(2) + 1 = 5 → nokta (2, 5)
3
Bu iki nokta işaretlenip bir doğru ile birleştirilir.
Sonuç: (0, 1) ve (2, 5) noktalarından geçen doğru, y = 2x + 1 denkleminin grafiğidir.
Aşağıdaki araçta m ve n değerlerini kaydırıcılarla seçin; y = mx + n doğrusunun grafiğini canlı olarak görün.
Denklem
—
İki nokta
—
✂️
Doğrunun Eksenleri Kestiği Noktalarx ekseni kesim noktası: Doğrunun x eksenini kestiği noktadır; bu noktada y = 0'dır.
y ekseni kesim noktası: Doğrunun y eksenini kestiği noktadır; bu noktada x = 0'dır (bu değer aynı zamanda denklemdeki sabit terimdir).
y ekseni kesim noktası: Doğrunun y eksenini kestiği noktadır; bu noktada x = 0'dır (bu değer aynı zamanda denklemdeki sabit terimdir).
Uygulama
y = 3x − 6 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulup grafiğini çiziniz.
1
x ekseni kesim noktası için y = 0 yazılır: 0 = 3x − 6 → x = 2 → (2, 0) işaretlenir
2
y ekseni kesim noktası için x = 0 yazılır: y = 3(0) − 6 = −6 → (0, −6) işaretlenir
Sonuç: Doğru, x eksenini (2, 0) noktasında; y eksenini (0, −6) noktasında keser.
Aşağıdaki araçta m ve n değerlerini kaydırıcılarla seçin; eksen kesim noktalarının nasıl bulunduğunu canlı olarak görün.
x ekseni kesim noktası
—
y ekseni kesim noktası
—
Eksenleri kesen ve orijinden geçmeyen bir doğru ile eksenler arasında kalan bölge her zaman bir dik üçgen şeklindedir.
Yukarıdaki grafiği inceleyerek, eksenleri kesim noktaları ile dik üçgenin taban ve yükseklik uzunlukları arasındaki ilişkiyi tartışın.
Yukarıdaki grafiği inceleyerek, eksenleri kesim noktaları ile dik üçgenin taban ve yükseklik uzunlukları arasındaki ilişkiyi tartışın.
↔️
Eksenlere Paralel Doğrularc bir gerçek sayı olmak üzere;
y = c biçimindeki denklemler x eksenine paralel (yatay) bir doğruyu temsil eder,
x = c biçimindeki denklemler y eksenine paralel (dikey) bir doğruyu temsil eder.
y = c biçimindeki denklemler x eksenine paralel (yatay) bir doğruyu temsil eder,
x = c biçimindeki denklemler y eksenine paralel (dikey) bir doğruyu temsil eder.
y = 4
x eksenine paraleldir,
y eksenini (0, 4) noktasında keser,
x eksenini hiç kesmez.
x = −3
y eksenine paraleldir,
x eksenini (−3, 0) noktasında keser,
y eksenini hiç kesmez.
Aşağıdaki butonlarla doğrunun yönünü, kaydırıcıyla da c'nin değerini seçin; doğrunun nereden geçtiğini anında görün.
Denklem
y = 4
🎯
Orijinden Geçen Doğrulary = mx biçimindeki denklemlerin grafiği her zaman orijinden geçer.
Orijinden geçen doğruların denklemlerinde sabit terim sıfırdır (yoktur).
Orijinden geçen doğruların denklemlerinde sabit terim sıfırdır (yoktur).
Uygulama
y = 3x doğrusunun orijinden geçtiğini gösteriniz.
1
x = 0 için: y = 3(0) = 0 → nokta (0, 0), yani orijin.
2
İkinci bir nokta için x = 2 alınır: y = 3(2) = 6 → nokta (2, 6)
Sonuç: y = 3x doğrusu (0, 0) ve (2, 6) noktalarından geçer; sabit terimi olmadığından her zaman orijinden geçer.
Aşağıdaki araçta m değerini kaydırıcıyla seçin; y = mx doğrusunun her zaman orijinden geçtiğini gözlemleyin.
Denklem
y = 3x
✏️
ax + by = c Biçimindeki Denklemin GrafiğiDenklem y = mx + n biçiminde olmasa da grafik çizmek için iki nokta yeterlidir. En kolay iki nokta, doğrunun eksenleri kestiği noktalardır: x = 0 yazarak y eksenini, y = 0 yazarak x eksenini kestiği noktayı buluruz.
Örnek: 2x + y = 4 ⇒ x = 0 için y = 4 → (0, 4) · y = 0 için 2x = 4, x = 2 → (2, 0). Bu iki nokta ızgarada işaretlenip birleştirilir.
Eksenlere paralel doğrular: y = 4 gibi bir denklemde her noktanın ordinatı 4'tür; doğru x eksenine paraleldir. x = −2 gibi bir denklemde her noktanın apsisi −2'dir; doğru y eksenine paraleldir.
🖊️
Noktaları İşaretleyin, Doğruyu ÇizinVerilen denklemin grafiğini çizmek için ızgarada denklemi sağlayan iki nokta tıklayın (bir noktayı yeniden tıklarsanız seçim kalkar). Sonra Doğruyu Çiz ve Kontrol Et düğmesine basın. Her denklemde yalnızca bir cevap hakkınız vardır.
Seçilen noktalar: —
✏️
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
y = x + 3 doğrusunun grafiğini çizmek için gereken iki noktayı bulunuz.
1
x = 0 için: y = 0 + 3 = 3 → nokta (0, 3)
2
x = 1 için: y = 1 + 3 = 4 → nokta (1, 4)
Sonuç: (0, 3) ve (1, 4) noktaları birleştirilerek doğru çizilir.
Örnek 2
y = −2x + 4 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
1
y = 0 için: 0 = −2x + 4 → x = 2 → x ekseni kesim noktası (2, 0)
2
x = 0 için: y = 4 → y ekseni kesim noktası (0, 4)
Sonuç: Doğru, x eksenini (2, 0), y eksenini (0, 4) noktasında keser.
Örnek 3
y = 5 doğrusu nasıl bir doğrudur; hangi eksene paraleldir?
1
y = c biçimindeki denklemler x eksenine paralel yatay doğrulardır.
Sonuç: y = 5 doğrusu, x eksenine paralel yatay bir doğrudur ve y eksenini (0, 5) noktasında keser.
Örnek 4
x = 2 doğrusu ile y = 3x doğrusunun grafikleri hangi noktada kesişir?
1
x = 2 dikey bir doğrudur; kesişim noktasında x = 2'dir.
2
x = 2 değeri y = 3x denkleminde yerine konur: y = 3(2) = 6
Sonuç: İki doğru (2, 6) noktasında kesişir.
Örnek 5
Bir doğru (0, −3) ve (4, 5) noktalarından geçmektedir. Bu doğrunun denklemini bulunuz.
1
(0, −3) noktası y eksenini kestiği nokta olduğundan sabit terim −3'tür.
2
Denklem y = ax + n biçimindedir. (0, −3) noktası n = −3 olduğunu verir. (4, 5) noktası denklemi sağlamalıdır: 5 = 4a − 3 ⇒ 4a = 8 ⇒ a = 2.
Sonuç: y = 2x − 3
İki noktası bilinen doğrunun denklemi: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun denklemini şu formül yardımıyla buluruz: \(\dfrac{y-y_1}{x-x_1} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Örnek 6
(1, 0) ve (−3, 6) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
1
Verilenlere göre: x₁ = 1, y₁ = 0, x₂ = −3, y₂ = 6
2
Bu değerler formülde yerine yazılır: \(\dfrac{y-0}{x-1} = \dfrac{6-0}{-3-1} = \dfrac{6}{-4}\)
3
İçler-dışlar çarpımı yapılarak doğru denklemi bulunur: \(-4y = 6x-6\)
Sonuç: Doğrunun denklemi: −4y = 6x − 6 ya da −2y = 3x − 3
Kesirlerin sadeleştirilmesine benzer biçimde, doğru denklemleri de sadeleştirilebilir.
Örnek 7
Orijinden ve (2, −8) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
1
Verilenlere göre: x₁ = 0, y₁ = 0, x₂ = 2, y₂ = −8
2
Bu değerler formülde yerine yazılır: \(\dfrac{y-0}{x-0} = \dfrac{-8-0}{2-0} \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{-8}{2} = -4\)
3
İçler-dışlar çarpımı yapılarak doğru denklemi bulunur.
Sonuç: Doğrunun denklemi: 2y = −8x ya da y = −4x
Orijinden geçen bir doğrunun denklemini yazabilmek için orijin dışında bir noktasının koordinatlarını bilmemiz yeterli olur: Orijinden ve A(x₁, y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi: \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{y_1}{x_1}\)
Örnek 8
Orijinden ve (6, 12) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
1
Orijinden ve A(x₁, y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi: \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{y_1}{x_1}\)
2
x₁ = 6 ve y₁ = 12 değerleri formülde yerine yazılır: \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{12}{6} = 2\)
3
İçler-dışlar çarpımı yapılarak doğru denklemi bulunur.
Sonuç: Doğrunun denklemi: y = 2x
Örnek 9
x eksenini 4, y eksenini ise 12 noktalarından kesen doğrunun denklemini bulunuz.
1
Verilenlere göre: x₁ = 4, y₁ = 0, x₂ = 0, y₂ = 12
2
Bu değerler formülde yerine yazılır: \(\dfrac{y-0}{x-4} = \dfrac{12-0}{0-4} \Rightarrow \dfrac{y}{x-4} = \dfrac{12}{-4} = -3\)
3
İçler-dışlar çarpımı yapılarak doğru denklemi bulunur.
Sonuç: Doğrunun denklemi: y = −3x + 12
Eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bildiğimiz doğrunun denklemini yazmak için aşağıdaki formülü de kullanabiliriz: x eksenini kestiği noktanın koordinatları A(a, 0), y eksenini kestiği noktanın koordinatları B(0, b) olmak üzere: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)
Örnek 10
x eksenini 4, y eksenini 12 noktalarından kesen doğrunun denklemini bu formülle yeniden bulalım.
1
Verilenlere göre: a = 4 ve b = 12
2
Bu değerler formülde yerine yazılır: \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{12} = 1\)
3
Denklemdeki tüm paydalar eşitlenip paydalar silinir: \(\dfrac{3x}{12} + \dfrac{y}{12} = \dfrac{12}{12} \Rightarrow 3x+y=12\)
4
Denklem bu şekilde bırakılabileceği gibi, y de tek başına bırakılabilir.
Sonuç: Doğrunun denklemi: 3x + y = 12 ya da y = −3x + 12
Örnek 11
y = 4x − 8 doğrusunun x ekseni, y ekseni ve orijinle ilişkisini inceleyiniz.
1
y = 0 için: x = 2 → x ekseni kesim noktası (2, 0)
2
x = 0 için: y = −8 → y ekseni kesim noktası (0, −8)
3
Orijin (0,0) denklemi sağlar mı diye bakılır: 4(0) − 8 = −8 ≠ 0, sağlamaz.
Sonuç: Doğru, x eksenini (2, 0)'da, y eksenini (0, −8)'de keser; orijinden geçmez.
Örnek 12
y = 3x + 12 doğrusu, x ekseni ve y ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayın.
1
y = 0 için: 0 = 3·x + 12 → x = −4 → x ekseni kesim noktası
2
x = 0 için: y = 3·0 + 12 → y = 12 → y ekseni kesim noktası
!
Ortaya çıkan bölge üçgendir ve kenar uzunlukları, yukarıda bulduğumuz sayıların mutlak değerlerine eşittir.
3
Üçgenin alanı = (taban · yükseklik)/2 = (4 · 12)/2
Sonuç: Alan = (4 · 12)/2 = 24 birimkare
📝
Çalışma Soruları1) y = 2x − 4 doğrusunun x eksenini kestiği nokta hangisidir?
2) y = −7 doğrusu hangi eksene paraleldir?
3) y = 5x doğrusu hangi noktadan geçer?
Boşluğu doldurun:
y = 3x + 9 doğrusunun y eksenini kestiği noktanın y koordinatı:
x = 6 doğrusunun x eksenini kestiği noktanın x koordinatı:
Doğru mu, yanlış mı?
y = c biçimindeki bir doğru, x eksenine paraleldir.
x = c biçimindeki bir doğru, x eksenine paraleldir.
y = mx biçimindeki (sabit terimi olmayan) bir doğru her zaman orijinden geçer.
Bir doğrunun grafiğini çizmek için en az üç nokta gereklidir.
📌
ÖzetBir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için en az iki nokta bulup birleştirmek yeterlidir.
x ekseni kesim noktası y=0 alınarak, y ekseni kesim noktası ise x=0 alınarak bulunur.
y = c biçimindeki denklemler x eksenine paralel; x = c biçimindeki denklemler y eksenine paraleldir.
y = mx biçimindeki (sabit terimi olmayan) denklemlerin grafiği her zaman orijinden geçer.
| Durum | Özellik |
|---|---|
| y = mx + n | İki nokta bulunup birleştirilerek çizilir |
| x ekseni kesim noktası | y = 0 alınarak bulunur |
| y ekseni kesim noktası | x = 0 alınarak bulunur (n'ye eşittir) |
| y = c | x eksenine paralel yatay doğru |
| x = c | y eksenine paralel dikey doğru |
| y = mx | Orijinden geçen doğru |
M.8.2.2.4 kapsamı: Doğrunun eksenleri hangi noktalarda kestiği, eksenlere paralelliği, orijinden geçip geçmediği durumları ele alınır.
🏆
Kendini Dene