8. Sınıf Matematik — M.8.2.2.6 Doğrunun Eğimi

📐

Eğim Kavramına Giriş

Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ve hangi yönde ilerlediğini gösteren sayıdır. Bir doğru üzerinde iki nokta arasındaki dikey uzunluğun (yükseklik değişimi), yatay uzunluğa (yatay değişim) oranı olarak tanımlanır ve genellikle m harfiyle gösterilir.

eğim = m = dikey uzunluk ÷ yatay uzunluk

Merdiven basamaklarının dikliği, bir rampanın eğimi, bir yolun yokuş açısı ya da bir çatının meyli — bunların hepsi günlük hayatta karşılaştığımız eğim örnekleridir. Bu sayfada eğimi hem soyut bir doğru üzerinde hem de günlük hayattan modellerle inceleyeceğiz.

Dikey Uzunluk

Yukarı–aşağı yöndeki değişim (Δy)

Yatay Uzunluk

Sağa–sola yöndeki değişim (Δx)

Eğim (m)

Dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranı

Eğimin işareti doğrunun yönünü (yükselen mi, alçalan mı), büyüklüğü (mutlak değeri) ise doğrunun ne kadar dik olduğunu gösterir. Sayfadaki kaydırma çubuklarıyla bu ilişkiyi canlı olarak gözlemleyebilirsiniz.

🔄

Doğruyu Döndür, Eğimi Gözlemle

Aşağıdaki kaydırma çubuğunu hareket ettirerek A noktasından geçen doğru parçasını döndürün. Doğru döndükçe dikey uzunluk, yatay uzunluk ve eğim değerinin nasıl değiştiğini gözlemleyin.

Doğrunun açısı40°

Dikey Uzunluk

—

Yatay Uzunluk

—

Eğim (m)

—

Doğru tam dikey konuma geldiğinde (açı 90°) yatay uzunluk 0 olur; bir sayı 0'a bölünemeyeceği için bu doğrunun eğimi tanımsızdır.

🎚️

Eğimin İşareti ve Anlamı

Bir doğrunun eğiminin işareti, soldan sağa doğru bakıldığında doğrunun nasıl ilerlediğini anlatır. Aşağıdaki dört durumu karşılaştırın.

Artan Doğru

Eğim pozitif (m > 0)

Azalan Doğru

Eğim negatif (m < 0)

Yatay Doğru

Eğim sıfır (m = 0)

Dikey Doğru

Eğim tanımsız

Büyüklük (mutlak değer) ise dikliği gösterir: |m| büyüdükçe doğru dikleşir, |m| küçüldükçe doğru yatıklaşır. Örneğin eğimi 3 olan bir doğru, eğimi 1/2 olan bir doğrudan daha diktir.

m = 3

Dik bir doğru — küçük bir yatay adımda büyük yükseliş

m = 1/3

Yatık bir doğru — büyük bir yatay adımda küçük yükseliş

📍

İki Noktadan Eğim Hesabı

Bir doğru üzerindeki A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarının koordinatları biliniyorsa eğim şu formülle hesaplanır:

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Aşağıdaki kaydırma çubuklarıyla A ve B noktalarının koordinatlarını değiştirin; doğrunun ve eğimin nasıl değiştiğini izleyin.

A noktası — x₁1

A noktası — y₁1

B noktası — x₂6

B noktası — y₂4

Δy = y₂ − y₁

—

Δx = x₂ − x₁

—

Eğim (m)

—

🛑

Günlük Hayattan Eğim Modelleri

Günlük hayatla ilişkili modellemelerde eğim, dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranı olarak ele alınır; bu bölümde işaret üzerinde durulmaz, yalnızca oran ve büyüklük incelenir.

Engelli erişimi için yapılan bir rampanın güvenli kabul edilebilmesi için eğiminin genellikle 1/12 değerini aşmaması önerilir; yani her 1 birim yükseklik için en az 12 birim yatay uzunluk bırakılır. Aşağıdaki kaydırıcılarla rampanın yüksekliğini ve yatay uzunluğunu değiştirip eğim oranının nasıl değiştiğini gözlemleyin.

Rampanın yüksekliği (dikey)1 birim

Rampanın uzunluğu (yatay)12 birim

Eğim Oranı

—

Ondalık Değer

—

Erişilebilirlik

—

Bir çatının meyli, bir kayak pistinin dikliği ya da bir yolun "%8 eğimlidir" şeklindeki tabelası da aynı mantıkla, yalnızca dikey/yatay oranı üzerinden ifade edilir.

✏️

Çözümlü Örnekler

Örnek 1

A(2, 1) ve B(6, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Formülde x₁=2, y₁=1, x₂=6, y₂=9 yazılır: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)

m = (9−1)/(6−2) = 8/4

Sonuç: m = 2 (pozitif eğim, artan doğru)

Örnek 2

A(−1, 5) ve B(3, −3) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = (−3−5)/(3−(−1))

m = −8/4

Sonuç: m = −2 (negatif eğim, azalan doğru)

Örnek 3

Bir merdivenin her basamağı 18 cm yükseklikte ve 27 cm derinliğindedir. Bu merdivenin eğimini (oran olarak) bulunuz.

Günlük hayat modeli olduğundan yalnızca oran incelenir: eğim = dikey/yatay = 18/27

18/27 kesri sadeleştirilir: 18/27 = 2/3

Sonuç: Merdivenin eğimi 2/3 ≈ 0,67'dir.

Örnek 4

x ekseni ile çakışık olan bir doğrunun eğimi nedir? y ekseni ile çakışık olan bir doğrunun eğimi nedir?

x ekseni tamamen yataydır; herhangi iki noktası arasında dikey uzunluk (Δy) her zaman 0'dır.

y ekseni tamamen dikeydir; herhangi iki noktası arasında yatay uzunluk (Δx) her zaman 0'dır.

Sonuç: x ekseninin eğimi 0'dır; y ekseninin eğimi tanımsızdır.

📝

Çalışma Soruları

A(1, 3) ve B(5, 7) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Eğimi negatif olan bir doğru için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A(4, 2) ve B(4, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimi için ne söylenebilir?

Bir çatının yüksekliği 4 m, yatay uzunluğu 8 m ise çatının eğim oranı (sadeleştirilmiş, x/y biçiminde payı):

A(0, −2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun eğimi:

📌

Özet

Eğim (m), bir doğru üzerindeki dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır: m = dikey uzunluk ÷ yatay uzunluk.
İki nokta biliniyorsa eğim m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) formülüyle hesaplanır (x₁ ≠ x₂ olmalıdır).
Eğimin işareti doğrunun yönünü belirler: pozitifse doğru artar, negatifse doğru azalır.
Eğim sıfırsa doğru yataydır; yatay uzunluk sıfırsa (dikey doğru) eğim tanımsızdır.
Eğimin büyüklüğü (mutlak değeri) dikliği gösterir: büyüdükçe doğru dikleşir.
Günlük hayattan modellerde (rampa, merdiven, çatı, yol eğimi) eğim yalnızca oran/büyüklük olarak ele alınır; işaret üzerinde durulmaz.

🎯

Kendini Dene