⚖️
Eşitsizlik Kavramına Girişİki ifadenin birbirine eşit olmadığını, birinin diğerinden büyük, küçük, büyük-eşit ya da küçük-eşit olduğunu belirten matematik cümlelerine eşitsizlik denir. Günlük hayatta "en az", "en çok", "-dan fazla", "-dan az" gibi ifadeler eşitsizliklerle temsil edilir.
| Sembol | Okunuşu | Anlamı |
|---|---|---|
| > | büyüktür | Sınır değere eşit değildir, ondan büyüktür |
| < | küçüktür | Sınır değere eşit değildir, ondan küçüktür |
| ≥ | büyük veya eşittir | Sınır değeri de kapsar ("en az") |
| ≤ | küçük veya eşittir | Sınır değeri de kapsar ("en çok") |
Bu etkinlikte üç kazanımı birlikte işleyeceğiz:
(1) günlük hayat durumlarını eşitsizlik cümlesine dönüştürme,
(2) eşitsizlikleri sayı doğrusunda gösterme,
(3) eşitsizlikleri çözme.
Özellikle her iki tarafın negatif bir sayı ile çarpılıp bölünmesi durumlarında işaretin yö değiştirmesi kuralına dikkat edeceğiz.
(1) günlük hayat durumlarını eşitsizlik cümlesine dönüştürme,
(2) eşitsizlikleri sayı doğrusunda gösterme,
(3) eşitsizlikleri çözme.
Özellikle her iki tarafın negatif bir sayı ile çarpılıp bölünmesi durumlarında işaretin yö değiştirmesi kuralına dikkat edeceğiz.
✍️
Günlük Hayattan Eşitsizlik Cümlesi KurmaAşağıda bir bağlam ve bir ilişki ifadesi seçin, ardından kaydırma çubuğuyla sınır değeri belirleyin. Uygun matematik cümlesinin nasıl oluştuğunu canlı olarak görün.
1. Bağlam seçin
2. İlişki ifadesini seçin
📏
Eşitsizliği Sayı Doğrusunda GöstermeSınır değer eşitsizliğe dahilse (≥ ya da ≤ varsa) o noktada içi dolu daire; sınır değer eşitsizliğe dahil değilse (> ya da < varsa) o noktada içi boş daire kullanılır.
🔀
Çarpma / Bölmede Yön Değişimi3 < 7 ifadesi ile başlayalım. Bu ifade matematiksel olarak doğrudur. (3, 7'den küçüktür)
Aşağıdan bir k değeri seçerek bu ifadenin her iki tarafını da o sayı ile çarpalım.
İfadenin doğru kalması için işaretin hangi yöne bakması gerektiğine dikkat edelim.
Başlangıçtaki durum
3 < 7
Sol taraf: 3 × k
—
Sağ taraf: 7 × k
—
Son Durum
—
\( a < b \text{ ve } k>0 \text{ ise } \ ka < kb \) (yön aynı kalır)
\( a < b \text{ ve } k<0 \text{ ise } \ ka > kb \) (yön değişir)
\( a < b \text{ ve } k<0 \text{ ise } \ ka > kb \) (yön değişir)
Bu kural yalnızca çarpma ve bölme için geçerlidir; eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleme veya çıkarma işleminde yön hiçbir zaman değişmez.
🧮
Eşitsizlik Çözme AdımlarıBu kazanımda en çok iki işlem gerektiren eşitsizlikler çözülür. Genel yöntem şu şekildedir:
- Değişkeni yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki taraftan aynı sayı çıkarılır. Bu adımda yön hiç değişmez.
- Değişkenin katsayısını 1 yapmak için her iki taraf aynı sayıyla çarpılır veya bölünür.
- Eğer 2. adımda kullanılan sayı negatifse, eşitsizliğin yönü değiştirilir (bkz. "Yön Değişimi" sekmesi).
- Bulunan çözüm kümesi, isteniyorsa sayı doğrusunda gösterilerek kontrol edilir.
Bir eşitsizliği çözerken attığınız her adımı, sanki iki kefeli bir terazi gibi düşünün: terazinin dengesini bozmamak için her iki tarafa da aynı işlemi uygulamalısınız; yalnızca negatif sayıyla çarpma/bölmede terazinin yönü (eşitsizlik yönü) tersine döner.
📚
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
"Bir otoparka en fazla 8 saat park edilebilir." ifadesini eşitsizlikle gösteriniz.
1
Park süresi x ile temsil edilsin.
2
"En fazla 8 saat" ifadesi, 8 dahil olmak üzere 8'i aşmayan tüm süreleri kapsar.
Sonuç: x ≤ 8
Örnek 2
x > −2 eşitsizliğini sayı doğrusunda gösteriniz.
1
−2 değeri eşitsizliğe dahil olmadığından (> işareti kullanıldığından) −2 noktasına boş daire çizilir.
2
x, −2'den büyük tüm değerleri aldığından −2'nin sağına doğru ok ile gösterilir.
Örnek 3
2x + 3 > 11 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
1
Her iki taraftan 3 çıkarılır (yön değişmez): \(2x+3-3>11-3\)
2
Sadeleştirilir: \(2x>8\)
3
Her iki taraf pozitif olan 2'ye bölünür, yön değişmez: \(\dfrac{2x}{2}>\dfrac{8}{2}\)
Sonuç: x > 4
Örnek 4
−3x + 5 ≤ 20 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
1
Her iki taraftan 5 çıkarılır (yön değişmez): \(-3x+5-5\le 20-5\)
2
Sadeleştirilir: \(-3x\le 15\)
3
Her iki taraf negatif olan −3'e bölünür, bu yüzden yön değişir: \(\dfrac{-3x}{-3}\ge\dfrac{15}{-3}\)
Sonuç: x ≥ −5
Örnek 5
Defne'nin yaşının 2 katının 5 fazlası, yaşının 3 katının 2 eksiğinden daha büyüktür. Buna göre Defne en fazla kaç yaşında olabilir?
1
Defne'nin yaşına x dersek şu eşitsizliği yazabiliriz: 2x + 5 > 3x - 2
2
Bilinenleri sol tarafa, bilinmeyenleri sağ tarafa alırsak: 5 + 2 > 3x - 2x
3
İşlemleri yaparsak: 7 > x
3
x, 7'den küçük tüm sayılar olabilir.
Sonuç: En fazla 6 yaşında olabilir.
📝
Çalışma Soruları"Bir asansöre en fazla 6 kişi binebilir." ifadesinin matematik cümlesi hangisidir?
−2 < x ≤ 5 eşitsizliğinin sayı doğrusundaki gösteriminde −2 noktasına ne çizilir?
5x > −15 eşitsizliğinin çözümü nedir?
Bir eşitsizliğin her iki tarafı da −4 ile bölünürse ne olur?
3x − 7 ≥ 8 eşitsizliğinin çözüm kümesindeki en küçük tam sayı değeri:
−2x < 10 eşitsizliğinin çözüm kümesindeki en küçük tam sayı değeri:
📌
Özet- "En az" ve "en çok" ifadeleri sınır değeri kapsar → ≥ ve ≤ sembolleri kullanılır.
- "-dan fazla" ve "-dan az" ifadeleri sınır değeri kapsamaz → > ve < sembolleri kullanılır.
- Sayı doğrusunda: eşitsizliğe dahil olan sınır noktasına dolu daire, dahil olmayana boş daire çizilir; çözüm kümesi ok veya doğru parçasıyla gösterilir.
- Eşitsizliği çözerken her iki tarafa aynı sayı eklemek/çıkarmak yönü değiştirmez.
- Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarpmak veya bölmek, eşitsizliğin yönünü değiştirir; pozitif bir sayıyla çarpmak/bölmek yönü değiştirmez.
🎯
Kendini Dene