8. SINIF MATEMATİK · M.8.3.1.1

Üçgende Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik

Üçgende kenarortay, açıortay ve yüksekliği inşa eder.

🔺
Üçgenin Yardımcı Elemanlarına Giriş

Bir üçgenin her köşesinden çizilebilen ve üçgenin iç yapısını anlamamıza yardımcı olan üç önemli doğru parçası vardır: kenarortay, açıortay ve yükseklik. Bunlara Üçgenin Yardımcı Elemanları denir.
Her üçgenin 3 köşesi olduğundan, her üçgende 3 kenarortay, 3 açıortay ve 3 yükseklik bulunur.
Aynı köşeden çizilen yardımcı elemanlar karşılaştırıldığında en uzun olan kenarortay, en kısa olan ise yüksekliktir (açıortay bu ikisinin arasındadır). İkizkenar ve eşkenar üçgenlerin bazı elemanlarında bu uzunluklar eşit olabilir.

Kenarortay

Bir köşeyi, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.

Açıortay

Bir köşedeki açıyı iki eş açıya bölen ve karşı kenarı kesen doğru parçasıdır.

Yükseklik

Bir köşeden, karşısındaki kenara dik olarak çizilen doğru parçasıdır.

Bu üç elemanı, kâğıt katlayarak ve keserek de elde edebilirsiniz:
- Bir kenarın iki ucunu üst üste getirip katlayarak orta noktasını bulmak, sonra karşı köşe ile bu orta noktadan geçen doğru boyunca katlamak kenarortayı,
- Bir köşedeki açıyı ikiye katlamak açıortayı,
- Köşeden geçen bir doğru boyunca, karşı kenar kendi üzerine çakışacak biçimde katlamak ise yüksekliği verir.

Kenarortay

Kâğıt katlayarak kenarortay oluşturma

Açıortay

Kâğıt katlayarak açıortay oluşturma

Yükseklik

Kâğıt katlayarak yükseklik oluşturma
Sıradaki üç sekmede bu yardımcı elemanları, üçgenin şeklini kaydırıcılarla değiştirerek ve istediğiniz köşeyi seçerek canlı olarak inceleyebilirsiniz.
📍
Kenarortay
Bir köşeden, karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına kenarortay denir. Her üçgende üç tane kenarortay vardır. Kenarortaylar mutlaka üçgenin iç bölgesindeki bir noktadan geçerler. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi adı verilir. Ağırlık merkezi, kenarortayı 1:2 oranında iki parçaya ayırır.

Aşağıdaki üçgenin A noktasını kaydırıcılarla hareket ettirin, hangi köşeden kenarortay çizileceğini seçin.

A noktasının yatay konumu
A noktasının yüksekliği
📐
Açıortay
Bir köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen ve karşı kenarı kesen doğru parçasına açıortay denir. Her üçgende üç tane açıortay vardır. Açıortaylar mutlaka üçgenin iç bölgesindeki bir noktadan geçerler.

Aşağıdaki üçgenin şeklini kaydırıcılarla değiştirip köşe seçerek açıortayın karşı kenarı nerede kestiğini gözlemleyin.

A noktasının yatay konumu
A noktasının yüksekliği
📏
Yükseklik
Bir köşeden, karşısındaki kenara (gerekirse bu kenarın uzantısına) çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir. Her üçgende üç tane yükseklik vardır.
- Dar açılı üçgenlerde yükseklikler mutlaka üçgenin iç bölgesindeki bir noktadan geçerler.
- Dik açılı üçgenlerde yükseklikler dik açının bulunduğu köşeden geçerler.
- Geniş açılı üçgenlerde yükseklikler mutlaka üçgenin dış bölgesindeki bir noktadan geçerler.

Aşağıdaki üçgende A noktasını kaydırarak geniş açılı bir üçgen oluşturduğunuzda, yüksekliğin ayağının kenarın dışına düşeceğini görebilirsiniz.

A noktasının yatay konumu
A noktasının yüksekliği
⭐
Özel Üçgenlerde Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik

Eşkenar Üçgen

Eşkenar üçgenin bir köşesinden çizilen yükseklik

Her bir köşeden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilen doğru parçaları hem kenarortay, hem açıortay hem de yüksekliktir.

İkizkenar Üçgen

İkizkenar üçgenin bir köşesinden çizilen yükseklik

Yalnızca tepe açısından (eşit kenarlar arasındaki köşeden) tabanın orta noktasına çizilen doğru parçası hem kenarortay, hem açıortay hem de yüksekliktir; taban köşelerinden çizilenlerin böyle bir özelliği yoktur.

Dik üçgende ise dik açının köşesinden hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir: \( |CM| = \tfrac{1}{2}|AB| \). Aşağıdaki kaydırıcılarla dik kenarların uzunluğunu değiştirip bu özelliği sayısal olarak doğrulayın.
Dik kenar (a)6 birim
Dik kenar (b)8 birim
|CM|
—
|AM|
—
|BM|
—
🧻
Katlama ile İnşa

Bir kâğıt üçgen hazırlayın ve aşağıdaki adımları kendi kâğıdınızda uygulayın. Şekilde kıvrım izleri kesikli çizgiyle, bulunan eleman düz çizgiyle gösterilir.

📐
Pergel ve Cetvel ile İnşa

Aşağıdaki adımları kendi defterinizde pergel ve cetvelle uygulayın. Yaylar turuncu, yardımcı doğrular kesikli, bulunan eleman düz çizgiyle gösterilir.

📚
Çözümlü Örnekler
Örnek 1
Bir üçgende [BC] kenarının uzunluğu 12 cm'dir. A köşesinden çizilen kenarortayın [BC] kenarını böldüğü iki parçanın uzunluklarını bulunuz.
1
Kenarortayın tanımı gereği, A köşesinden çizilen kenarortay [BC] kenarının orta noktasına gider.
2
12 cm'lik kenar orta noktadan tam ortadan ikiye bölünür: 12 ÷ 2 = 6 cm
Sonuç: Kenar 6 cm ve 6 cm olmak üzere iki eş parçaya bölünür.
Örnek 2
Dik üçgende dik açının köşesinden hipotenüse çizilen kenarortay 5 cm ise hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir?
1
Dik üçgende, dik açının köşesinden hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir: \( |CM| = \tfrac{1}{2}|AB| \)
2
\( 5 = \tfrac{1}{2}|AB| \) olduğundan \( |AB| = 2 \times 5 \)
Sonuç: Hipotenüsün uzunluğu 10 cm'dir.
Örnek 3
İkizkenar bir üçgende tepe açısı 80°'dir. Tepe açısından çizilen açıortayın tabanla oluşturduğu açı kaç derecedir?
1
İkizkenar üçgende tepe açısından çizilen açıortay, aynı zamanda yükseklik özelliğini de taşır (tabana diktir).
2
Bir doğru parçasına dik olan bir doğru parçası, onunla 90°'lik açı oluşturur.
Sonuç: Açıortayın tabanla oluşturduğu açı 90°'dir (verilen 80° değeri bu sonucu etkilemez).
📝
Çalışma Soruları
Bir köşeyi, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına ne ad verilir?
Bir köşeden karşı kenara çizilen ve bu kenarla 90° açı yapan doğru parçasına ne ad verilir?
Hangi üçgen türünde, her köşeden çizilen kenarortay, açıortay ve yükseklik her zaman aynı doğru parçasıdır?
"Dik üçgende bir kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir." ifadesi hangi köşeden çizilen kenarortay için doğrudur?
Bir üçgende [AB] kenarı 18 cm'dir. C köşesinden çizilen kenarortayın [AB]'yi böldüğü parçalardan birinin uzunluğu (cm):
Dik üçgende dik açının köşesinden hipotenüse çizilen kenarortay 7 cm ise hipotenüsün uzunluğu (cm):
📌
Özet
  • Kenarortay: bir köşeyi, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.
  • Açıortay: bir köşedeki açıyı iki eş açıya bölen ve karşı kenarı kesen doğru parçasıdır.
  • Yükseklik: bir köşeden karşı kenara (gerekirse uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır; geniş açılı üçgenlerde ayağı kenarın dışına düşebilir.
  • Her üçgende her köşeden birer tane olmak üzere 3 kenarortay, 3 açıortay ve 3 yükseklik vardır.
  • Eşkenar üçgende her köşeden çizilen bu üç eleman birbiriyle çakışır (aynı doğru parçasıdır).
  • İkizkenar üçgende yalnızca tepe açısından çizilenler çakışır.
  • Dik üçgende dik açının köşesinden hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
🎯
Kendini Dene