🔗
Üçgenin Temel Elemanları Arasındaki İlişkilerBir üçgenin kenar uzunlukları arasında da üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında da doğrudan bir ilişki vardır. Bu etkinlikte bu ilişkileri ele alacağız.
Üçgen Eşitsizliği
Herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
Kenar–Açı İlişkisi
Bir üçgende uzun kenarın karşısında büyük açı, kısa kenarın karşısında ise küçük açı bulunur.
Sıradaki sekmelerde her iki ilişkiyi de kaydırıcılarla canlı olarak deneyebilirsiniz.
📐
Kenarların Uzunlukları Arasındaki İlişki (Üçgen Eşitsizliği)P ve R noktaları arasındaki uzaklık z olsun. P merkezli x yarıçaplı bir çember ile R merkezli y yarıçaplı bir çember çizildiğinde, bu iki çember ancak belirli koşullarda kesişir ve bir üçgen oluşturur. Kaydırıcılarla x, y ve z değerlerini değiştirip hangi durumlarda üçgen oluştuğunu gözlemleyin.
x + y
—
|x − y|
—
z
—
—
\( |x-y| < z < x+y \)
🔺
Kenarın Uzunluğu ile Karşısındaki Açının İlişkisiAşağıda A köşesini kaydırıcılarla hareket ettirerek üçgenin şeklini değiştirin. Her kenarın uzunluğu ile karşısındaki açının ölçüsü canlı olarak hesaplanıp tabloda gösterilir.
📚
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
Kenar uzunlukları 4 cm, 5 cm ve 10 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?
1
İki kenarın uzunluklarının toplamı, üçüncüden büyük olmalı.
2
İki kısa kenarı toplayarak üçüncü kenardan büyük olup olmadığına bakalım:
3
4 + 5 = 9
4
9, üçüncü kenar olan 10'dan büyük değil.
Sonuç: Toplam üçüncü kenardan küçük olduğu için bu üç uzunlukla üçgen çizilemez.
Örnek 2
Bir üçgenin iki kenarı 7 cm ve 9 cm'dir. Üçüncü kenarın alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.
1
Üçüncü kenarın uzunluğu, verilen iki kenarın uzunluklarının toplamı ile farkının arasında bir sayı olmalı;
1
Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
2
\( |9-7| < x < 9+7 \)
3
\( 2 < x < 16 \) elde edilir. (Ç = {3, 4, 5, ..., 13, 14, 15})
Sonuç: x, 2 ile 16 arasındaki tam sayı değerlerini alabilir; en küçük değer 3 cm, en büyük değer 15 cm'dir.
Örnek 3
Bir üçgende |AB| = 7 cm, |BC| = 5 cm, |AC| = 4 cm'dir. Bu üçgenin en büyük açısı hangi köşededir?
1
En uzun kenar [AB]'dir.
2
[AB] kenarının karşısındaki köşe C köşesidir.
Sonuç: En büyük açı C açısıdır.
Örnek 4
Bir üçgende m(A) = 70°, m(B) = 50°, m(C) = 60°'dir. Kenarları kısadan uzuna doğru sıralayınız.
1
50° < 60° < 70° olduğuna göre,
1
B açısı < C açısı < A açısı yazabiliriz.
2
Bir üçgende en kısa kenar, en küçük açının karşısındadır; en uzun kenar, en büyük açının karşısındadır.
Sonuç: [AC] < [AB] < [BC]
Örnek 5
Şekilde verilenlere göre kenarları kısadan uzuna doğru sıralayınız.
1
Önce iki üçgeni ayrı ayrı ele almalıyız;
2
1 no'lu üçgende açılara bakılırsa, |AB| < |BC| < |AC| yazılabilir.
3
2 no'lu üçgende açılara bakılırsa, |AC| < |DC| < |AD| yazılabilir.
4
Elde ettiğimiz iki eşitsizlikte kenar uzunluklarının sırası ortaya çıkmış oldu.
Sonuç: [AB] < [BC] < [AC] < [DC] < [AD]
Örnek 6
Verilenlere göre şekildeki en uzun kenarı belirleyiniz.
1
Önce iki üçgeni ayrı ayrı ele almalıyız;
2
1 no'lu üçgende açılara bakılırsa, |AC| < |BC| < |AB| yazılabilir.
3
2 no'lu üçgende açılara bakılırsa, |BD| < |DC| < |BC| yazılabilir.
4
Bu eşitsizliklerde farklı bir durum ortaya çıktı; iki eşitsizliği yan yana getirip yazamıyoruz. Dolayısıyla, kenarları kısadan uzuna doğru eksiksiz sıralamamız mümkün değil.
5
Dikkat edersek, [BC] kenarı 2 no'lu üçgende en uzun kenar. Diğer taraftan 1 no'lu üçgene göre [AB] kenarı da [BC]'den daha uzun.
!
Üçgenleri ayrı ayrı ele almadan, doğrudan en büyük açının karşısındaki kenarı tüm şekildeki en uzun kenar zannetmek, bu sorularda yapılacak en büyük hatalardandır.
Sonuç: Tam sıralamayı bilmemiz mümkün olmasa da en uzunu belirledik; [AB] en uzun kenardır.
📝
Çalışma SorularıKenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?
Bir üçgende iki kenar 6 cm ve 9 cm ise üçüncü kenar hangi aralıkta olmalıdır?
Bir üçgende en uzun kenarın karşısında hangi açı bulunur?
Kenar uzunlukları birbirine eşit olan bir üçgende (eşkenar üçgen) açılar için ne söylenebilir?
Kenarları 8 cm ve 15 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri (cm):
Kenarları 8 cm ve 15 cm olan bu üçgenin üçüncü kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri (cm):
📌
Özet- Bir üçgende, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise üçüncü kenardan küçük olmalıdır: \( |x-y| < z < x+y \).
- Bu koşul sağlanmıyorsa verilen üç uzunlukla üçgen oluşturulamaz.
- Bir üçgende uzun kenarın karşısında büyük açı, kısa kenarın karşısında küçük açı bulunur.
- Eş uzunluktaki kenarların karşısında eş açılar bulunur (ikizkenar ve eşkenar üçgenlerle bağlantılı bir özelliktir).
- Birden fazla üçgenin bulunduğu birleşik şekillerde önce üçgenleri ayrı ayrı ele alarak her bir üçgendeki sıralamayı yazmalıyız.
🎯
Kendini Dene