8. Sınıf Matematik — M.8.3.1.5 Pisagor Bağıntısı

📐

Pisagor Bağıntısına Giriş

Bir dik üçgende, dik açının bulunduğu köşenin karşısındaki (dik açıyı gören) en uzun kenara hipotenüs, dik açıyı oluşturan diğer iki kenara dik kenarlar denir.

Dik Kenarlar

Dik açıyı oluşturan iki kenar (genellikle a ve b ile gösterilir).

Hipotenüs

Dik açının karşısındaki en uzun kenar (genellikle c ile gösterilir).

\( a^2 + b^2 = c^2 \)

Bu bağıntıya Pisagor bağıntısı denir: bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu sayfada bu bağıntıyı canlı modellerle oluşturacak, gerçek hayat problemlerinde, koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmada ve bir üçgenin dik üçgen olup olmadığına karar vermede kullanacağız.

🟧

Bağıntıyı Oluşturalım

Dik kenarları a ve b olan bir dik üçgenin her kenarı üzerine, o kenarı bir kenar kabul eden birer kare çizelim. Kaydırıcılarla a ve b değerlerini değiştirip karelerin alanları arasındaki ilişkiyi gözlemleyin.

|BC| = a3

|AC| = b4

Turuncu karenin
alanı
a²

—

Yeşil karenin
alanı
b²

—

İki karenin
toplam alanı
a² + b²

—

Kırmızı karenin
alanı
c²

—

🌍

Gerçek Hayat Uygulamaları

Bir merdiven duvara yaslanıyor. Merdivenin uzunluğunu ve duvarda ulaştığı yüksekliği kaydırıcılarla belirleyin; merdivenin dibinin duvardan uzaklığı canlı hesaplanır.

Merdivenin uzunluğu (c)5 m

Duvardaki yükseklik (b)3 m

Merdiven (c)

—

Duvar (b)

—

Duvardan Uzaklık (a)

—

🗺️

Koordinat Düzleminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

A and B noktalarının koordinatlarını kaydırıcılarla belirleyin. İki nokta arasında, kenarları eksenlere paralel bir dik üçgen oluşturup Pisagor bağıntısını uygulayarak aradaki uzaklığı bulacağız.

A'nın apsisi1

A'nın ordinatı1

B'nin apsisi5

B'nin ordinatı4

Yatay Uzaklık |Δx|

—

Dikey Uzaklık |Δy|

—

|AB|

—

❓

Dik Açı mı? Geniş Açı mı? Dar Açı mı?

Bir üçgenin en uzun kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse, dik üçgendir.
Bir üçgenin en uzun kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamından büyükse, geniş açılı üçgendir.
Bir üçgenin en uzun kenarının karesi diğer iki kenarın karelarinin toplamından küçükse, dar açılı üçgendir.

Üç kenar uzunluğunu kaydırıcılarla belirleyin. En uzun kenarın karesi ile diğer iki kenarın kareleri toplamının karşılaştırmasını ve üçgenin dik, geniş ya da dar açılı olup olmadığını anında görebilirsiniz.

Kenar 13

Kenar 24

Kenar 35

En Uzun Kenarın Karesi

—

Diğer İkisinin Kareleri Toplamı

—

📚

Çözümlü Örnekler

Örnek 1

Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsünü bulunuz.

Pisagor bağıntısı yazılır: \( a^2+b^2=c^2 \)

\( 6^2+8^2=c^2 \Rightarrow 36+64=c^2 \Rightarrow c^2=100 \)

Sonuç: c = 10 cm

Örnek 2

Hipotenüsü 13 cm, bir dik kenarı 5 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarını bulunuz.

\( a^2+5^2=13^2 \Rightarrow a^2+25=169 \)

\( a^2=169-25=144 \)

Sonuç: a = 12 cm

Örnek 3

Verilenlere göre x değerini bulunuz.

\( |BC| = 4 + 8 = 12 cm \)

ABC dik üçgen olduğuna göre, \( |AB|^2=13^2-12^2 \Rightarrow |AB|^2=169-144 \Rightarrow |AB|^2=25 \Rightarrow |AB|=5 cm \)

ABD dik üçgen olduğuna göre, \( x^2=5^2+4^2 \Rightarrow x^2=25+9=34 \)

Sonuç: \( x= \sqrt{34} \)

Örnek 4

Verilenlere göre x değerini bulunuz.

Ortak bir hipotenüse sahip iki dik üçgen

RTS dik üçgen olduğuna göre, \( |RS|^2=15^2+20^2 \Rightarrow |RS|^2=225+400 \Rightarrow |RS|^2=625 \Rightarrow |RS|=25 cm \)

PRS dik üçgen olduğuna göre, \( x^2=25^2-24^2 \Rightarrow x^2=625-576=49 \)

Sonuç: \( x= \sqrt{49}=7 cm \)

Örnek 5

Verilenlere göre ABCD yamuğunun alanını bulunuz.

D noktasından H noktasına bir dikme indirirsek \( |DH|=|BC|=x \) olur.

ADH dik üçgen olduğuna göre, \( x^2=10^2-6^2 \Rightarrow x^2=100-36 \Rightarrow x=8 cm \)

Yamuğun alanı \( = \dfrac{(|CD|+|BA|)}{2} × h=\dfrac{(18+24)}{2} × 8=21 × 8 \)

Sonuç: Alan = 168 cm²

Örnek 6

A(2, 3) ve B(7, 11) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

İki nokta arasındaki uzaklık, bir dik üçgenin hipotenüsüne eşittir.

Koordinatları verilen noktalara göre;
Apsislerin farkı yatay dik kenar uzunluğunu, ordinatların farkı dikey dik kenar uzunluğunu verir:

Yatay kenar: 7 − 2 = 5 br, dikey kenar: 11 − 3 = 8 br

Pisagor bağıntısı uygulanırsa: \( |AB|^2 = 5^2+8^2 = 25+64=89 \)

Sonuç: \( |AB| = \sqrt{89} \) birim

Örnek 4

Kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm, 25 cm olan üçgen dik üçgen midir?

En uzun kenarın karesi hesaplanır: \( 25^2=625 \)

Diğer iki kenarın kareleri toplamı hesaplanır: \( 7^2+24^2=49+576=625 \)

Sonuç: 625 = 625 olduğundan bu üçgen bir dik üçgendir.

Örnek 5

5 metre uzunluğundaki bir merdiven, duvardan 3 metre uzaklığa yerleştiriliyor. Merdiven duvarda hangi yükseklikte durur?

Merdiven hipotenüs (c=5), duvardan uzaklık bir dik kenardır (a=3); duvardaki yükseklik b bulunacaktır.

\( 3^2+b^2=5^2 \Rightarrow 9+b^2=25 \Rightarrow b^2=16 \)

Sonuç: Merdiven duvarda 4 metre yükseklikte durur.

📝

Çalışma Soruları

Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?

Kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm, 15 cm olan üçgen dik üçgen midir?

Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için nasıl bir yol izlenir?

Bir dik üçgende hipotenüs için ne söylenebilir?

Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin hipotenüsü (cm):

A(0,0) ve B(6,8) noktaları arasındaki uzaklık (birim):

📌

Özet

Dik üçgende dik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar, dik açının karşısındaki en uzun kenara hipotenüs denir.
Pisagor bağıntısı: \( a^2+b^2=c^2 \) — dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Merdiven-duvar, dikdörtgenin köşegeni gibi gerçek hayat problemlerinde bilinmeyen bir uzunluk Pisagor bağıntısıyla bulunabilir.
Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklık, eksenlere paralel bir dik üçgen oluşturularak Pisagor bağıntısıyla hesaplanır.
Kenar uzunlukları verilen bir üçgende, en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen dik üçgendir.

🎯

Kendini Dene