8. SINIF MATEMATİK · M.8.3.2.1

Öteleme

Nokta, doğru parçası ve diğer şekillerin öteleme sonucundaki görüntülerini çizer.

➡️
Ötelemeye Giriş

Bir cismi masanın üzerinde döndürmeden, yalnızca kaydırarak yerini değiştirdiğinizde öteleme yapmış olursunuz.

Öteleme: Bir şekli oluşturan her noktanın aynı yönde ve aynı uzaklık kadar hareket ettirilmesidir. Öteleme sonucunda elde edilen şekle görüntü denir.
Şeklin noktaları A, B, C ise görüntülerinin noktaları A′, B′, C′ ile gösterilir.
Bu dosyada kareli kâğıt ve koordinat düzlemi üzerinde çalışacaksınız. Kaydırıcılarla ötelemeyi kendiniz değiştirip görüntünün nasıl değiştiğini gözlemleyeceksiniz.
📍
Nokta ve Doğru Parçası

Aşağıdaki etkinlikte, kareli kâğıtta verilmiş olan P noktasını ve AB doğru parçasını öteleyeceğiz.
Noktayı ve doğru parçasını ötelemek için kaydırıcıları kullanın. Kırmızı kesikli oklar noktaların hareketini gösterir.
Öteleme işlemine başlamadan önce ve ötelemeden sonra noktaların tam köşelerde bulunduğuna dikkat edin.

Doğru parçasının görüntüsü, uç noktalarının görüntülerini birleştiren doğru parçasıdır.
Bir doğru parçasını ötelemek için; önce her iki uç noktası ayrı ayrı ötelenir, sonra da elde edilen bu iki noktayı birleştiren düz çizgi cetvelle çizilir.
Böylece tüm noktalar aynı yönde ve aynı uzaklığa hareket etmiş olur.
🟦
Çokgeni Öteleme

Aşağıdaki etkinlikte, kareli kâğıtta verilmiş olan bir çokgeni öteleyeceğiz.
Çokgeni ötelemek için kaydırıcıları kullanın. Kırmızı kesikli oklar, noktaların hareketini gösterir.
Öteleme işlemine başlamadan önce ve ötelemeden sonra noktaların tam köşelerde bulunduğuna dikkat edin.

Çokgenin görüntüsü, köşelerinin noktalarının görüntülerini birleştiren doğru parçalarının birleşimidir.
Bir çokgeni ötelemek için; önce her köşesindeki noktalar sırayla ötelenir, sonra da elde edilen bu noktaları aynı sırayla ikişer ikişer birleştiren doğru parçaları çizilir.
Böylece tüm köşeler aynı yönde ve aynı uzaklığa hareket etmiş olur.
🧭
Koordinat Düzleminde Öteleme

Aşağıdaki etkinlikte, koordinat düzleminde verilmiş olan bir üçgeni öteleyeceğiz.
Bir A(x, y) noktası yatayda a birim, dikeyde b birim ötelenirse;
Sağa doğru hareket ettirmek için apsis, a değeri kadar artırılır: x → x + a
Sola doğru hareket ettirmek için apsis, a değeri kadar azaltılır: x → x − a
Yukarıya doğru hareket ettirmek için ordinat, b değeri kadar artırılır y → y + b
Aşağı doğru hareket ettirmek için ordinat, b değeri kadar azaltılır y → y − b

Tablodaki her köşe için x ve y koordinatlarının aynı miktarlarda değiştiğini gözlemleyin.
🟰
Şekil ve Görüntü

Aşağıdaki etkinlikte, kareli kâğıtta verilmiş olan bir çokgeni öteleyeceğiz.
Kaydırıcıları kullanarak paralelkenarı yukarı-aşağı, sağa-sola öteleyebilirsiniz.
Öteleme işleminden önce ve ötelemeden sonra kenar uzunluklarının daima aynı kaldığını gözlemleyebilirsiniz.

Ötelemede her nokta aynı yönde ve aynı uzaklık kadar hareket ettiği için şekil ile görüntüsü eştir.

Öteleme işlemi sonucunda kenar uzunlukları da değişmez, açı ölçüleri de değişmez.

🖱️
Üçgeni Ötele

Her görevde verilen öteleme bilgisine göre ABC üçgeninin görüntüsünü bulacaksınız. A noktasının yeni yerini (A′) ızgarada tıklayın; üçgenin tamamı o hareketle kayacak ve sonucu göreceksiniz. Her görevde yalnızca bir cevap hakkınız vardır.

📚
Çözümlü Örnekler
Örnek 1
A(−3, 2) noktası 5 birim sağa, 4 birim aşağı ötelenirse A′ noktasının koordinatları ne olur?
1
5 birim sağa hareket, apsisi 5 artırır; x' = −3 + 5 = 2
2
4 birim aşağı hareket, ordinatı 4 azaltır; y' = 2 − 4 = −2
Sonuç: A′(2, −2)
Örnek 2
Köşeleri A(1, 1), B(4, 1) ve C(2, 3) olan ABC üçgeni 3 birim sola, 2 birim yukarı ötelenirse köşelerin koordinatları ne olur?
1
A′: (1 − 3, 1 + 2) = (−2, 3)
2
B′: (4 − 3, 1 + 2) = (1, 3)
3
C′: (2 − 3, 3 + 2) = (−1, 5)
Sonuç: A′(−2, 3), B′(1, 3), C′(−1, 5)
Örnek 3
B(−2, 1) noktasının görüntüsü B′(3, 4) olduğuna göre hangi yöne kaç birim öteleme yapılmıştır?
1
Yatay: 3 − (−2) = 5 → 5 birim sağa
2
Dikey: 4 − 1 = 3 → 3 birim yukarı
Sonuç: Nokta 5 birim sağa, 3 birim yukarı ötelenmiştir.
Örnek 4
C(m, 10) noktası 5 birim sola, 3 birim yukarı ötelendiğinde görüntüsü C'(1, n) olduğuna göre m + n değeri kaçtır?
1
Sola hareket, x'i azaltır;
2
m, 5 birim azalmış ve 1 olmuş → m = 1 + 5 = 6
3
Yukarı hareket, y'yi artırır;
4
10, 3 birim artmış ve n olmuş → n = 10 + 3 = 13
Sonuç: m + n = 6 + 13 = 19
📝
Çalışma Soruları
A(2, 3) noktası 4 birim sağa ve 1 birim aşağı ötelenirse görüntüsü hangisidir?
Ötelemeyle ilgili hangisi doğrudur?
B(−1, 2) noktasının görüntüsü B′(3, 0) ise öteleme hangisidir?
📌
Özet
  • Öteleme: Şeklin her noktasının aynı yönde ve aynı uzaklık kadar hareket ettirilmesidir.
  • Öteleme sonucunda oluşan şekle görüntü denir; noktalar A → A′ biçiminde gösterilir.
  • Nokta, doğru parçası ve diğer şekillerin görüntüleri kareli veya noktalı kâğıtta, koordinat düzleminde çizilebilir.
  • A(x, y) noktası a birim yatay, b birim dikey ötelenirse A′(x + a, y + b) olur.
  • Şekil ile görüntüsü eştir: kenar uzunlukları ve açı ölçüleri değişmez.
🎯
Kendini Dene