🪞
Yansımaya GirişAynaya baktığınızda gördüğünüz görüntü, yansımaya güzel bir örnektir. Matematikte ayna görevini bir doğru yapar.
Yansıma: Bir şeklin her noktasının, bir doğruya göre karşı tarafta aynı uzaklıkta görüntüsünün alınmasıdır. Bu doğruya simetri doğrusu denir; bu dosyada d ile gösterilecektir.
Şeklin noktaları A, B, C ise görüntülerinin noktaları A′, B′, C′ ile gösterilir. Yansımada şekil ile görüntüsü eştir.
Bu dosyada kareli kâğıt ve koordinat düzlemi üzerinde çalışacaksınız. Kaydırıcı ve düğmelerle simetri doğrusunu değiştirip görüntünün nasıl değiştiğini gözlemleyeceksiniz.
📍
Yansıma Nedir?Turuncu d doğrusu aynadır. P noktası ile AB doğru parçasının görüntüleri doğrunun diğer tarafında oluşur. Kaydırıcıyla d doğrusunu kaydırın.
Simetri doğrusu kaydığında görüntü de kayar. Şeklin d doğrusuna uzaklığı ne kadar ise görüntünün uzaklığı da o kadardır.
📐
Simetri DoğrusuYansımada karşılıklı noktalar (örneğin A ile A′) için iki özellik her zaman geçerlidir:
1) A ile A′ noktalarını birleştiren doğru parçası, simetri doğrusuna diktir.
2) A ve A′ noktalarının simetri doğrusuna olan uzaklıkları eşittir.
2) A ve A′ noktalarının simetri doğrusuna olan uzaklıkları eşittir.
Aşağıdaki kaydırıcıları kullanarak simetri doğrusunun açısını ve konumunu değiştirebilirsiniz.
Her durumda kesik çizgilerin d doğrusuna dik olduklarını ve iki çokgenin simetri doğrusuna eşit uzaklıkta olduklarını gözlemleyin.
🧭
Koordinat Düzleminde YansımaABC üçgeninin seçtiğiniz simetri doğrusuna göre görüntüsünü inceleyin. Tablodaki koordinatların nasıl değiştiğini gözlemleyin.
A(x, y) noktasının X EKSENİNE göre yansıması: A'(x, -y)
A(x, y) noktasının Y EKSENİNE göre yansıması: A'(-x, y)
A(x, y) noktasının ORİJİNE göre yansıması: A'(-x, -y)
Diğer doğrulara göre yansımada ise her noktanın simetri doğrusuna uzaklığı, görüntüsünün uzaklığına eşittir.
A(x, y) noktasının Y EKSENİNE göre yansıması: A'(-x, y)
A(x, y) noktasının ORİJİNE göre yansıması: A'(-x, -y)
Diğer doğrulara göre yansımada ise her noktanın simetri doğrusuna uzaklığı, görüntüsünün uzaklığına eşittir.
📏
Simetri Doğrusu Üzerindeki ŞekillerBir şeklin bazı noktaları ya da bir kenarı d doğrusunun üzerinde olabilir.
Kaydırıcıyı kullanarak yansıma doğrusunu ABC üçgeninden uzaklaştırabilirsiniz.
Simetri doğrusu üzerindeki her nokta kendi görüntüsüdür.
Bir doğru parçasının tamamı d doğrusu üzerindeyse görüntüsü kendisidir.
Bir doğru parçasının tamamı d doğrusu üzerindeyse görüntüsü kendisidir.
📚
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
A(3, 2) noktasının y eksenine göre yansıması olan A′ noktasının koordinatları nedir?
1
y eksenine göre yansımada y değişmez, x'in sadece işareti değişir.
2
2 aynı kalacak; 3'ün işareti değişecek.
Sonuç: A′(−3, 2)
Örnek 2
B(−4, 5) noktasının x eksenine göre yansıması nedir?
1
x eksenine göre yansımada x değişmez, y'nin sadece işareti değişir.
2
-4 aynı kalacak; 5'in işareti değişecek.
Sonuç: B′(−4, −5)
Örnek 3
C(m, n) noktasının x eksenine göre yansıması C'(9, -3) olduğuna göre m + n değeri kaçtır?
1
x eksenine göre yansımada x değişmez, y'nin sadece işareti değişir.
2
m aynı kalmış ve 9 olmuş; n'nin işareti değişmiş ve -3 olmuş.
3
m = 9 ve n = 3 olmalı.
Sonuç: m + n = 9 + 3 = 12
Örnek 4
D(a, -7) noktasının orijine göre yansıması D'(-5, b) olduğuna göre a - b değeri kaçtır?
1
Orijine göre yansımada hem x'in hem de y'nin işareti değişir.
2
a'nın işareti değişmiş ve -5 olmuş; -7'nin işareti değişmiş ve b olmuş.
3
a = 5 ve b = 7 olmalı.
Sonuç: a - b = 5 - 7 = -2
Örnek 5
A(1, 7) noktasının x = 3 doğrusuna göre yansıması nedir?
1
x = 3 doğrusu dikey bir doğrudur. Yansıma doğrusu (ayna) dikey olduğuna göre nokta sağa ya da sola yansıyacak demektir.
2
Sağa-sola hareketler x ekseni üzerindedir yani x değişecek, y değişmeyecek.
3
Önce, A noktası doğrunun kaç birim sağında/solunda diye bakmalıyız.
4
A noktası doğrunun 3 − 1 = 2 birim solundadır.
5
Böylece, A' noktası doğrunun 2 birim sağında olmalı diyebiliriz.
6
x' = 3 + 2 = 5
Sonuç: A′(5, 7)
Örnek 6
A(-1, 6) noktasının y = 2 doğrusuna göre yansıması nedir?
1
y = 2 doğrusu yatay bir doğrudur. Yansıma doğrusu (ayna) yatay olduğuna göre nokta yukarıya ya da aşağıya yansıyacak demektir.
2
Yukarı-aşağı hareketler y ekseni üzerindedir yani y değişecek, x değişmeyecek.
3
Önce, A noktası doğrunun kaç birim yukarısında/aşağısında diye bakmalıyız.
4
A noktası doğrunun 6 − 2 = 4 birim yukarısındadır.
5
Böylece, A' noktası doğrunun 4 birim aşağısında olmalı diyebiliriz.
6
y' = 2 - 4 = -2
Sonuç: A′(-1, -2)
Örnek 7
P(2, 1) noktasının görüntüsü P′(6, 1) ise simetri doğrusu nedir?
1
Yansıma sonucunda x değişmiş; x ekseni üzerinde hareket olmuş.
2
Başlangıçta x = 2, yansıma sonrasında x' = 6
3
Aradaki fark = 4 birim. Simetri doğrusu tam ortada olmalı.
4
Her iki noktaya da 2 birim uzaklıkta olmalı.
Sonuç: Simetri doğrusu x = 4 doğrusudur.
📝
Çalışma SorularıA(3, 2) noktasının x eksenine göre yansıması hangisidir?
Yansımayla ilgili hangisi doğrudur?
B(−2, 3) noktasının x = 1 doğrusuna göre yansıması hangisidir?
📌
Özet- Yansıma: Bir şeklin bir doğruya (simetri doğrusu) göre ayna görüntüsünün alınmasıdır.
- Karşılıklı noktalar A ve A′ için: AA′ doğru parçası simetri doğrusuna dik, A ve A′ doğruya eşit uzaklıktadır.
- Yansımada şekil ile görüntüsü eştir: kenar uzunlukları ve açı ölçüleri değişmez.
- y eksenine göre yansımada (x, y) → (−x, y); x eksenine göre yansımada (x, y) → (x, −y) olur.
- Simetri doğrusu üzerindeki noktalar kendi görüntüleridir.
🎯
Kendini Dene