8. SINIF MATEMATİK · M.8.3.2.3

Çokgenlerde Öteleme ve Yansıma

Çokgenlerin öteleme ve yansımalar sonucunda ortaya çıkan görüntüsünü oluşturur.

🔁
Dönüşümlere Giriş

Önceki iki dosyada nokta, doğru parçası ve şekillerin ötelemesini ve yansımasını çalıştınız. Bu dosyada aynı dönüşümleri çokgenlere uygulayacak, ardından iki dönüşümü art arda kullanacaksınız.

Öteleme: Şeklin her noktası aynı yönde ve aynı uzaklık kadar hareket eder.
A(x, y) noktası a birim yatay, b birim dikey ötelenirse A′(x + a, y + b) olur.
Yansıma: Şeklin her bir noktasının görüntüsü, simetri doğrusuna dik ve doğruya eşit uzaklıktadır.
y eksenine göre (x, y) → (−x, y); x eksenine göre (x, y) → (x, −y) olur.
Çokgenin görüntüsünü çizmek için her köşenin görüntüsü bulunur ve köşeler aynı sırayla birleştirilir.
Art arda iki dönüşüm uygulanmışsa şeklin ilk görüntüsü A′, ikinci görüntüsü A″ ile gösterilir.
Bu dosyada en fazla iki ardışık öteleme veya yansıma yapılır. Öteleme ve yansımada şekil ile görüntüsü eş olduğu için iki dönüşümden sonra bile son şekil ile ilk şekil eştir.
➡️
Çokgende Öteleme

Aşağıdaki etkinlikte, ABCDE beşgeninin görüntüsünü kaydırıcılarla değiştirin. Her köşenin koordinatlarının nasıl değiştiğini tabloda anında görebilirsiniz.

Çokgenin her köşesi aynı yönde ve aynı uzaklık kadar hareket eder. Bu nedenle çokgen ile görüntüsü eştir: kenar uzunlukları ve açı ölçüleri değişmez.
🪞
Çokgende Yansıma

Aşağıdaki etkinlikte, ABCDE beşgeninin farklı simetri doğrularına yansımasını göreceksiniz.
Düğmelerle simetri doğrusunu seçin. Her köşenin doğruya uzaklığı ile görüntüsünün doğruya uzaklığının eşit olduğuna dikkat edin.

Yansımada köşelerin sırası ters yönde görünür (şeklin ayna görüntüsü oluşur), ama kenar uzunlukları ve açı ölçüleri aynı kalır.
🔗
Ardışık Dönüşüm

Aşağıdaki etkinlikte, kırmızı ABC üçgenine art arda iki dönüşüm uygulayacaksınız.
Kaydırıcıları kullanarak önce hangi dönüşümü sonra hangi dönüşümü yapacağınızı seçin.
Her iki dönüşüm sonucundaki görüntüleri koordinat düzleminde anında görebilirsiniz.
Seçeceğiniz ilk dönüşümün görüntüsü yeşil üçgen, ikinci dönüşümün görüntüsü ise mavi üçgen şeklinde çizilecek.

Aynı iki dönüşümü farklı sırada uygularsanız son görüntünün konumu değişebilir; ancak her durumda son görüntü, ilk şekle eştir.
🎨
Desen ve Motif

Bir motif, öteleme ve yansımalarla tekrarlandığında desen oluşur. Desen türünü seçin ve hangi motifin hangisinin ötelemesi ya da yansıması olduğuna bakın.

Deseni çözümlemek için: Motifin komşusuna ulaşmak için ayna görüntüsü almak gerekiyorsa yansıma, motifi aynı yönde kaydırmak yeterliyse öteleme kullanılmıştır.
🔎
Deseni Tanıyın

Aşağıdaki desende hangi dönüşümlerin kullanıldığını bulun.

🏺
Geleneksel Sanatlarımızda Desenler

Çini, seramik ve dokuma (halı, kilim gibi) örneklerinde motifler öteleme ve yansımayla tekrarlanarak bordür (kenar süsü) ve yüzey desenleri oluşturur.

Geleneksel sanatlarımızdan bir çini, seramik veya dokuma örneği
Şekil: Fotoğrafın açıklamasını buraya yazın.
Fotoğrafı inceleme yönergesi
  • Fotoğrafta tekrar eden bir motif seçin; bu sizin temel motifiniz olsun.
  • Aynı görünen komşu motife ulaşmak için motifi kaydırmak mı, ayna görüntüsünü almak mı gerekiyor?
  • Ayna görüntüsü gerekiyorsa simetri doğrusunu belirleyin. Karşılıklı noktalar doğruya eşit uzaklıkta ve doğruya dik mi?
  • Kaydırma yetiyorsa her noktanın aynı yönde ve aynı uzaklık kadar hareket ettiğini kontrol edin.
  • Motife en çok iki ardışık dönüşümle ulaşıp ulaşamadığınızı deneyin.
Fotoğrafta iki motif birbirinin ayna görüntüsü ise aralarındaki dönüşüm hangisidir?
Bir motife döndürmeden ve aynı yönde kaydırarak komşu motife ulaşılıyorsa hangi dönüşüm kullanılmıştır?
📚
Çözümlü Örnekler
Örnek 1
A(2, 1) noktası önce 3 birim sağa, 2 birim yukarı ötelenip sonra y eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntüsü nedir?
1
Öteleme: (2 + 3, 1 + 2) = (5, 3)
2
y eksenine göre yansıma: (5, 3) → (−5, 3)
Sonuç: A″(−5, 3)
Örnek 2
B(−4, 3) noktası önce x eksenine göre yansıtılıp sonra 5 birim sağa ötelenirse son görüntüsü nedir?
1
x eksenine göre yansıma: (−4, 3) → (−4, −3)
2
Öteleme: (−4 + 5, −3) = (1, −3)
Sonuç: B″(1, −3)
Örnek 3
A(1, 1), B(3, 1), C(2, 4) köşeli üçgen önce 4 birim aşağı ötelenip sonra x eksenine göre yansıtılırsa son görüntünün köşeleri nedir?
1
Öteleme: A′(1, −3), B′(3, −3), C′(2, 0)
2
x eksenine göre yansıma: y koordinatlarının işareti değişir
3
A″(1, 3), B″(3, 3), C″(2, 0)
Sonuç: A″(1, 3), B″(3, 3), C″(2, 0)
Örnek 4
P noktası önce 2 birim sağa ötelenip sonra y eksenine göre yansıtıldığında P″(−6, 3) noktasına geliyor. P noktasının koordinatları nedir?
1
Sondan başlayın. y eksenine göre yansımadan önceki nokta: (6, 3)
2
Ötelemeden önceki nokta: (6 − 2, 3) = (4, 3)
Sonuç: P(4, 3)
Örnek 5
C(3, 2) noktası önce y eksenine, sonra x eksenine göre yansıtılırsa son görüntüsü nedir?
1
y eksenine göre: (3, 2) → (−3, 2)
2
x eksenine göre: (−3, 2) → (−3, −2)
Sonuç: C″(−3, −2)
📝
Çalışma Soruları
A(1, 4) noktası önce 3 birim sağa ötelenip sonra x eksenine göre yansıtılırsa son görüntüsü hangisidir?
Bir çokgene art arda iki dönüşüm (öteleme veya yansıma) uygulanırsa son görüntü için ne söylenebilir?
Bir desende her motif, önceki motifin ayna görüntüsü ise desende hangi dönüşüm kullanılmıştır?
B(−2, 1) noktası önce 4 birim sola ötelenip sonra y eksenine göre yansıtılırsa son görüntüsü hangisidir?
📌
Özet
  • Çokgenin görüntüsü, köşelerinin görüntüleri bulunup aynı sırayla birleştirilerek çizilir.
  • Öteleme: A(x, y) → A′(x + a, y + b). Yansıma: y eksenine göre (x, y) → (−x, y), x eksenine göre (x, y) → (x, −y).
  • Öteleme ve yansımada şekil ile görüntüsü eştir; en çok iki ardışık dönüşümden sonra da eşlik korunur.
  • İlk görüntü A′, ikinci görüntü A″ ile gösterilir.
  • Desende motifin komşusuna kaydırarak ulaşılıyorsa öteleme, ayna görüntüsü alınıyorsa yansıma kullanılmıştır.
  • Geleneksel sanatlarımızdaki (çini, seramik, dokuma vb.) desenlerde de bu dönüşümler belirlenebilir.
🎯
Kendini Dene