📦
Geometrik Cisimlere GirişKutular, tuğlalar, çadırlar ve üçgen kesitli çikolata paketleri günlük hayatta sık gördüğünüz prizma örnekleridir. Bu dosyada dik prizmaların elemanlarını inceleyecek, açınımlarını çizecek ve yüzey alanı, hacim ve köşegenlerini hesaplayacaksınız.
Dik prizma: Alt ve üst tabanları eş ve paralel birer çokgen, yan yüzleri ise tabanlara dik birer dikdörtgen olan cisimdir.
Bu dosyada üç boyutlu şekilleri kaydırıcılarla döndürebilecek ve kapalı prizmanın yavaş yavaş açınıma dönüşmesini izleyebileceksiniz.
Terimler: taban, yükseklik, yüzey alanı, prizma
🔷
Prizma Nedir?Taban çokgenini seçin ve prizmayı kaydırıcıyla döndürerek her yönden inceleyin.
Tabanı üçgen olan prizmaya üçgen prizma, dikdörtgen olan prizmaya dikdörtgenler prizması, beşgen olan prizmaya beşgen prizma denir. Prizmalar tabanlarının şekline göre adlandırılır.
Yan yüzlerin hepsi dikdörtgendir. Tabanlar ise birbirinin aynısı olan çokgenlerdir.
🧩
Prizmanın ElemanlarıBir eleman seçtiğinizde prizmada o eleman vurgulanır. Taban çokgenini değiştirerek eleman sayılarının nasıl değiştiğini izleyin.
Tabanı n kenarlı bir dik prizmada 2 taban, n yan yüz, 3n ayrıt ve 2n köşe vardır.
🗂️
Prizma ÇeşitleriTaban çokgeninin kenar sayısı arttıkça yan yüz sayısı da artar. Dört prizmayı ve eleman sayılarını karşılaştırın.
Yüz sayısı n + 2 (2 taban ve n yan yüz), ayrıt sayısı 3n, köşe sayısı 2n olur. Küp, tüm ayrıtları eşit olan özel bir dikdörtgenler prizmasıdır.
✂️
Prizmayı İnşa EtmeDikdörtgenler prizmasının ölçülerini kaydırıcılarla seçin. Kareli zemindeki açınımı kareli kâğıda çizip kesin ve katlayarak modelinizi yapabilirsiniz.
Kâğıt modelde ayrıtlar boyunca katlama payı bırakıp yapışkanla birleştirin. Yapıştırma sonunda 6 yüzün tamamı ayrıt boyunca birbirine tam oturmalıdır.
🔓
Prizmanın AçınımıKaydırıcıyı sağa doğru çekin. Yan yüzler alt tabanın ayrıtları etrafında, üst taban ise Y1 yüzünün üst ayrıtı etrafında dönerek düzleme serilir.
Açınım: Bir cismin yüzeyinin ayrıtları boyunca kesilip düzleme serilmesiyle elde edilen şekildir. Prizmanın açınımı, 2 taban çokgeni ile yan yüzleri oluşturan dikdörtgenlerden oluşur.
📐
Yüzey ve Cisim KöşegenleriDikdörtgenler prizmasında iki tür köşegen bulunur:
Yüzey köşegeni (d): Bir yüzün karşılıklı iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır. Kenarları \(a\) ve \(b\) olan yüz için \(d=\sqrt{a^2+b^2}\).
Cisim köşegeni (D): Aynı yüzde bulunmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. \(D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Cisim köşegeni (D): Aynı yüzde bulunmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. \(D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Yüzey seçin ve kaydırıcılarla ölçüleri değiştirin. Kırmızı üçgenin dik üçgen olduğuna dikkat edin.
Cisim köşegeni, yüzey köşegeni ile prizmanın kalan bir ayrıtından oluşan dik üçgenin hipotenüsüdür. Bu nedenle Pisagor bağıntısı iki kez kullanılır.
Bu sekme, Pisagor bağıntısının prizmalardaki uygulaması olarak eklenmiş bir zenginleştirme etkinliğidir.
🧮
Yüzey Alanı ve HacimÖnceki yıllarda işlediğiniz dik prizmaların yüzey alanı ve hacim bağıntılarını hatırlayalım.
Yüzey alanı = 2 · taban alanı + yanal alan: \(A=2\cdot A_t+Ç\cdot h\)
Hacim = taban alanı · yükseklik: \(V=A_t\cdot h\)
Dikdörtgenler prizmasında: \(A=2(ab+ac+bc)\), \(V=abc\)
Hacim = taban alanı · yükseklik: \(V=A_t\cdot h\)
Dikdörtgenler prizmasında: \(A=2(ab+ac+bc)\), \(V=abc\)
Yüzey alanı, açınımın alanına eşittir; hacim ise prizmanın içine sığan birim küp sayısını verir. Yüzey alanı cm² ile, hacim cm³ ile ifade edilir.
🧵
Açınımdan Cismi TanıyalımBir cismin açınımı, cismi kenarlarından keserek düz bir kâğıt üzerine yatırdığımızda elde ettiğimiz şekildir. Dik prizmanın açınımında şunlar bulunur:
- Birbirine eş iki taban (üçgen, dörtgen, beşgen …).
- Taban kenar sayısı kadar dikdörtgen yan yüz; bu dikdörtgenler yan yana tek bir şerit hâlinde bulunabilir.
- Katlanınca üst üste binen ya da boşluk kalan bir yüz bulunmamalıdır.
🎯
Açınımı YorumlayınŞekildeki açınım katlanırsa aşağıdaki cisimlerden hangisi oluşur?
Şekildeki açınımla oluşturulan cismin kaç yüzü vardır?
Şekildeki açınımla oluşturulan cismin yüzlerinin tamamı hangi çokgendir?
Tabanı beşgen olan bir dik prizmanın açınımında kaç dikdörtgen bulunur?
📚
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
Tabanı 3 cm ve 4 cm kenarlı dikdörtgen, yüksekliği 5 cm olan dik prizmanın yüzey alanını ve hacmini bulunuz.
1
Yüzey alanı: A = 2(3·4 + 3·5 + 4·5) = 2(12 + 15 + 20) = 94 cm²
2
Hacim: V = 3 · 4 · 5 = 60 cm³
Sonuç: A = 94 cm², V = 60 cm³
Örnek 2
Tabanı dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgen, yüksekliği 10 cm olan dik prizmanın yüzey alanı ve hacmi nedir?
1
Hipotenüs: √(6² + 8²) = 10 cm
2
Taban alanı: 6·8÷2 = 24 cm²; taban çevresi: 6 + 8 + 10 = 24 cm
3
Yüzey alanı: 2·24 + 24·10 = 48 + 240 = 288 cm²
4
Hacim: 24 · 10 = 240 cm³
Sonuç: A = 288 cm², V = 240 cm³
Örnek 3
Ayrıtları 3 cm, 4 cm ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm’dir?
1
Alt taban köşegeni: d² = 3² + 4² = 25 → d = 5 cm
2
Cisim köşegeni: D² = d² + 12² = 25 + 144 = 169
3
D = 13 cm
Sonuç: 13 cm
Örnek 4
Bir kenarı 6 cm olan küpün bir yüzey köşegeni ve cisim köşegeni kaç cm’dir?
1
Yüzey köşegeni: d = √(6² + 6²) = √72 = 6√2 cm
2
Cisim köşegeni: D = √(6² + 6² + 6²) = √108 = 6√3 cm
Sonuç: d = 6√2 cm, D = 6√3 cm
Örnek 5
Tabanı düzgün altıgen olan dik prizmanın yüz, ayrıt ve köşe sayısını bulunuz.
1
n = 6 için: yüz sayısı n + 2 = 8
2
Ayrıt sayısı 3n = 18
3
Köşe sayısı 2n = 12
Sonuç: 8 yüz, 18 ayrıt, 12 köşe
Örnek 6
Açınımında 7 yüz bulunan dik prizmanın tabanı kaç kenarlıdır?
1
Yüz sayısı n + 2 = 7
2
n = 5
Sonuç: Tabanı beşgen olan dik prizmadır.
Örnek 7
Taban alanı 24 cm² ve hacmi 120 cm³ olan dik prizmanın yüksekliği kaç cm’dir?
1
V = At · h → 120 = 24 · h
2
h = 120 ÷ 24 = 5
Sonuç: h = 5 cm
📝
Çalışma SorularıTabanı yedigen olan dik prizmanın köşe sayısı kaçtır?
Açınımında 8 yüz bulunan dik prizmanın tabanı hangisidir?
Ayrıtları 2 cm, 3 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni kaç cm’dir?
Tabanı dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgen, yüksekliği 8 cm olan prizmanın hacmi kaç cm³’tür?
Bir kenarı 4 cm olan küpün yüzey alanı kaç cm²’dir?
📌
Özet- Dik prizma: Tabanları eş ve paralel çokgen, yan yüzleri dikdörtgen olan cisimdir. Tabanı n kenarlı prizmanın 2 tabanı, n yan yüzü, 3n ayrıtı ve 2n köşesi vardır.
- Açınım: 2 taban ve n dikdörtgen yan yüzden oluşur; toplam n + 2 yüz vardır.
- Yüzey köşegeni: \(d=\sqrt{a^2+b^2}\). Cisim köşegeni: \(D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- Yüzey alanı: \(A=2A_t+Ç\cdot h\). Dikdörtgenler prizmasında \(A=2(ab+ac+bc)\).
- Hacim: \(V=A_t\cdot h\). Dikdörtgenler prizmasında \(V=abc\).
🎯
Kendini Dene