Bir su deposunun, bir bardağın ya da bir pilin içine ne kadar madde sığdığını bilmek için hacmini hesaplamanız gerekir.
Aşağıdaki etkinlikte, silindir biçiminde içi su dolu bir depo görüyorsunuz. Kaydırıcıları kullanarak deponun boyutlarını değiştirebilir, suyun miktarını azaltabilirsiniz.
En alttaki tabloda silindirin taban alanını, suyun yüksekliğini ve depodaki suyun hacmini anında görebilirsiniz.
Suyun miktarını %100 yaptığınızda suyun hacmi aynı zamanda silindir deponun hacmidir.
Aşağıdaki etkinlikte, bir üçgen dik prizma görüyorsunuz.
Şu anda üçgen prizmanın hacmi, benzer büyüklükteki bir silindirin hacmine göre oldukça küçüktür. Alttaki tabloda bunu görebilirsiniz.
Kaydırıcıyı kullanarak prizmanın tabanının kaç kenarlı olmasını istediğinizi seçin.
Prizmanın taban ayrıtlarının sayısı arttıkça, benzer büyüklükteki bir silindirin hacmiyle aradaki farkın azaldığını tablodan takip edebilirsiniz.
r ve h değerlerini kaydırıcılarla değiştirin ve hacmin nasıl hesaplandığını adım adım izleyin.
Taban yarıçapı \(r\), yükseklik \(h\).
Hesap makinesi kullanmadan silindirin hacmini tahmin edebilir misiniz?
Aşağıdaki etkinlikte, kırmızı dairenin içine çizilmiş olan mavi karenin ve dışına çizilmiş olan yeşil karenin alanlarından yararlanacağız.
Tabanı mavi kare olan kare prizmanın hacmini hesaplayacağız, tabanı yeşil kare olan kare prizmanın hacmini hesaplayacağız.
Bu şekilde, silindirin hacminin hangi aralıkta olduğunu görerek tahminde bulunacağız.
Kaydırıcıları kullanarak dairenin yarıçapı ile prizmaların ve silindirin yüksekliğini belirleyebilirsiniz. Seçeceğiniz değerlere göre prizmaların hacimleri anında hesaplanarak aşağıdaki tabloda gösterilir.
Dıştaki karenin bir kenarı dairenin çapına (2r) eşit → alanı = 2r × 2r = 4r²
İki silindirin ölçülerini ayrı ayrı değiştirin. Hacimler nasıl değişiyor? Yarıçap iki katına çıktığında hacim kaç katına çıkıyor, yükseklik iki katına çıktığında kaç katına çıkıyor?
Yarıçap değişmeden yüksekliği 2 katına çıkarırsak hacim 2 katına çıkar.
İkinci cümleyi daha iyi kavramak için günlük hayattan şöyle bir örnek işe yarayabilir:
8 katlı bir apartmanda kaç tane daire olduğunu düşünün.
Binanın yüksekliğini 2 katına çıkarırsak daire sayısı kaç katına çıkacaktır?
Yükseklikle hacim arasındaki ilişki bu şekildedir.
Bu etkinlikle silindirin hacim bağıntısını somut modellerle de inceleyebilirsiniz.
- Silindir biçiminde bir bardak (ya da kutu) ve tabanı dikdörtgen olan bir kap seçin. İkisinin yüksekliğini eşit alın.
- Silindirik kabı pirinç veya su ile doldurup dikdörtgen kaba boşaltın. Yükseklik eşit ve taban alanları yaklaşık eşitse her iki kabın da aynı miktarda madde aldığını gözlemleyin.
- Silindirik kabın yarıçapını ve yüksekliğini cetvelle ölçün, \(V=\pi r^2h\) bağıntısıyla hacmi hesaplayın.
- Kabın etiketinde yazan hacimle (mL ya da L) hesabınızı karşılaştırın. 1 mL = 1 cm³ ve 1 L = 1000 cm³ olduğunu hatırlayın.
- Hacim: Bir cismin uzayda kapladığı yerin ölçüsüdür; \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\) gibi birimlerle ifade edilir.
- Dik prizma: \(V=A_t\cdot h\).
- Dik dairesel silindir: Tabanı daire olduğu için \(V=A_t\cdot h=\pi r^2 h\).
- Çap verilirse yarıçap \(r=\dfrac{\text{çap}}{2}\) alınır.
- Tahmin: π yerine 3 alınarak \(V\approx 3r^2h\). Daire içindeki kare \(2r^2\), dışındaki kare \(4r^2\) olduğundan \(2r^2h\lt V\lt 4r^2h\).
- Yüksekliği sabit tutup \(r\) 2 katına çıkarsa hacim 4 katına, \(r\) sabit tutup \(h\) 2 katına çıkarsa hacim 2 katına çıkar. 1 L = 1000 cm³.