🍦
Koniye GirişDondurma külahı, doğum günü şapkası ve huni koni biçimindedir. Bu dosyada dik koninin elemanlarını belirleyecek, elemanlar arasındaki ilişkileri bulacak, açınımını çizerek modelini yapacaksınız.
Dik koni: Tabanı bir dairedir. Tepe noktasından tabana indirilen yükseklik, dairenin merkezinden geçer. Yan yüzü eğri bir yüzeydir.
Kaydırıcılarla koniyi döndürecek ve kapalı koninin yavaş yavaş açınıma dönüşmesini izleyeceksiniz.
Ana doğruyu a, yarıçapı r, yüksekliği h ile göstereceğiz.
Ana doğruyu a, yarıçapı r, yüksekliği h ile göstereceğiz.
Terimler: taban, yükseklik, koni. Bu kazanımda koninin alan ve hacim hesabına girilmez.
🔷
Koni Nedir?Koninin yarıçapını ve yüksekliğini kaydırıcılarla değiştirin, koniyi döndürerek her yönden inceleyin.
Konide yalnızca bir tabanı (daire), bir tepe noktası ve eğri bir yan yüz vardır. Piramide benzer, ancak tabanı çokgen değil dairedir.
🧩
Koninin ElemanlarıBir eleman seçtiğinizde konide o eleman renklendirilmiş biçimde görülecek. Yarıçap ve yüksekliği değiştirerek elemanların nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsiniz.
Koninin taban yarıçapı (r), yüksekliği (h) ve tepe noktasını taban çemberine birleştiren ana doğrusu (a) vardır.
📐
Ana Doğru, Yarıçap ve YükseklikKoninin yüksekliği, yarıçapı ve ana doğrusu bir dik üçgen oluşturur. Ölçüleri kaydırıcılarla değiştirerek bu ilişkiyi inceleyin.
Dik üçgenin dik kenarları \(h\) ve \(r\), hipotenüsü \(a\) olduğundan: \(a^2=h^2+r^2\)
Üç ölçüden ikisini bilirseniz Pisagor bağıntısıyla üçüncüyü bulabilirsiniz:
\(a=\sqrt{h^2+r^2}\)
\(h=\sqrt{a^2-r^2}\)
\(r=\sqrt{a^2-h^2}\)
\(a=\sqrt{h^2+r^2}\)
\(h=\sqrt{a^2-r^2}\)
\(r=\sqrt{a^2-h^2}\)
🔓
Koninin AçınımıKaydırıcıyı sağa doğru çekin. Yan yüz, taban dairesine teğet olduğu noktadan geriye doğru yatarken açılır ve düz bir daire dilimine dönüşür. Taban dairesi yerinde kalır.
Koninin açınımı: 1 daire (taban) ve 1 daire diliminden (yan yüz) oluşur. Daire diliminin yarıçapı ana doğruya (a) eşittir. Daire diliminin yay uzunluğu taban çevresine (2πr) eşittir.
✂️
İnşa ve Merkez AçısıTaban yarıçapını (r) ve ana doğruyu (a) seçin. Açınımdaki daire diliminin merkez açısı kaydırıcılara göre hesaplanıp çizilir.
Daire diliminin yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan merkez açısı \(\theta\) şöyle bulunur:
\(\dfrac{\theta}{360^\circ}=\dfrac{2\pi r}{2\pi a}\ \Rightarrow\ \theta=360^\circ\cdot\dfrac{r}{a}\)
\(\dfrac{\theta}{360^\circ}=\dfrac{2\pi r}{2\pi a}\ \Rightarrow\ \theta=360^\circ\cdot\dfrac{r}{a}\)
Modeli yapmak için pergelle a yarıçaplı bir yay çizip açıölçerle θ açısını işaretleyin. Daire dilimini keserek koni biçiminde kıvırın. Taban dairesini de yayın ortasına teğet olarak çizip kesin, sonra yapıştırın.
📚
Çözümlü ÖrneklerÖrnek 1
Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 4 cm olan dik koninin ana doğrusu kaç cm’dir?
1
a² = h² + r² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
2
a = 5
Sonuç: a = 5 cm
Örnek 2
Ana doğrusu 13 cm, taban yarıçapı 5 cm olan dik koninin yüksekliği kaç cm’dir?
1
h² = a² − r² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
2
h = 12
Sonuç: h = 12 cm
Örnek 3
Ana doğrusu 10 cm, yüksekliği 6 cm olan dik koninin taban yarıçapı kaç cm’dir?
1
r² = a² − h² = 100 − 36 = 64
2
r = 8
Sonuç: r = 8 cm
Örnek 4
Taban yarıçapı 3 cm, ana doğrusu 5 cm olan dik koninin açınımındaki daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?
1
θ = 360° · r ÷ a
2
θ = 360° · 3 ÷ 5 = 216°
Sonuç: 216°
Örnek 5
Açınımındaki daire diliminin merkez açısı 120°, yarıçapı 9 cm olan koninin taban yarıçapı kaç cm’dir?
1
Daire diliminin yarıçapı ana doğrudur: a = 9 cm
2
120° = 360° · r ÷ 9 → r ÷ 9 = 120 ÷ 360 = 1/3
3
r = 3
Sonuç: r = 3 cm
Örnek 6
Taban yarıçapı 4 cm olan dik koninin açınımındaki daire diliminin merkez açısı 240° ise ana doğrusu kaç cm’dir?
1
240° = 360° · 4 ÷ a → 4 ÷ a = 240 ÷ 360 = 2/3
2
a = 6
Sonuç: a = 6 cm
Örnek 7
Açınımındaki daire diliminin merkez açısı 180° olan koninin ana doğrusu, taban yarıçapının kaç katıdır?
1
180° = 360° · r ÷ a → r ÷ a = 1/2
2
a = 2r
Sonuç: 2 katı
Örnek 8
Taban yarıçapı 2 cm olan koninin açınımındaki daire diliminin yay uzunluğu kaç cm’dir? (π = 3 alınız.)
1
Yay uzunluğu taban çevresine eşittir
2
2πr = 2 · 3 · 2 = 12
Sonuç: 12 cm
📝
Çalışma SorularıTaban yarıçapı 6 cm, yüksekliği 8 cm olan dik koninin ana doğrusu kaç cm’dir?
Ana doğrusu 17 cm, yüksekliği 15 cm olan dik koninin taban yarıçapı kaç cm’dir?
Taban yarıçapı 2 cm, ana doğrusu 6 cm olan koninin açınımındaki daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?
Açınımındaki daire diliminin merkez açısı 270°, yarıçapı 8 cm olan koninin taban yarıçapı kaç cm’dir?
Dik koninin açınımı hangi şekillerden oluşur?
📌
Özet- Dik koni: Tabanı daire; yükseklik tabanın merkezine iner. Yan yüzü eğri yüzeydir.
- Elemanlar: taban, yan yüz, tepe noktası, yarıçap \(r\), yükseklik \(h\), ana doğru \(a\).
- Elemanlar arası ilişki: \(a^2=h^2+r^2\).
- Açınım: 1 daire ve 1 daire dilimi. Daire diliminin yarıçapı \(a\), yay uzunluğu \(2\pi r\).
- Merkez açısı: \(\theta=360^\circ\cdot\dfrac{r}{a}\).
🎯
Kendini Dene