8. Sınıf Matematik — M.8.5.1 Basit Olayların Olma Olasılığı

🎲

Olasılığa Giriş

Terimler ve kavramlar: olasılık, çıktı, olay, eş olasılık, imkânsız olay, kesin olay

Sonucu önceden kesin olarak bilinemeyen, rastlantıya bağlı işlemlere deney denir. Bir deneyde elde edilebilecek her bir sonuca çıktı, tüm çıktıların oluşturduğu kümeye ise deneyin örnek uzayı denir. Belirli çıktı veya çıktılardan oluşan her bir duruma olay denir.

Uygulama

Bir zarın atılması deneyi

Deney: Zarın havaya atılması.

Çıktılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (zarın üst yüzüne gelebilecek sayılar).

Olay (örnek): "Çift sayı gelmesi" olayı; bu olaya ait çıktılar 2, 4 ve 6'dır.

Sonuç: Bu deneyin örnek uzayı {1, 2, 3, 4, 5, 6}; "çift sayı gelmesi" olayının çıktıları ise {2, 4, 6}'dır.

8. sınıfta yalnızca tek bir deney (bir zar atma, bir torbadan bir defa top çekme, bir çarkı bir defa çevirme gibi) ele alınır. Art arda iki zar atma veya bir torbadan art arda iki top çekme gibi birden fazla olaydan oluşan durumlar bu düzeyde işlenmez.

🔢

Bir Olaya Ait Olası Durumlar

Bir olaya ait olası durumlar, o deneyde ortaya çıkabilecek tüm çıktılardır. Olası durumların sayısını doğru belirlemek, olasılık hesaplamalarının ilk ve en önemli adımıdır.

Uygulama

3 kırmızı, 5 mavi renkli topun bulunduğu bir torbadan top çekilmesi

Torbadaki her top, çekiliş için ayrı bir olası durumdur.

Toplam top sayısı: 3 + 5 = 8

Sonuç: Bu olayla ilgili olası durumların sayısı 8'dir.

Aşağıdaki araçta torbadaki renkli top sayılarını kaydırıcılarla değiştirin; olası durum sayısının nasıl değiştiğini gözlemleyin.

Kırmızı top3

Mavi top5

Sarı top0

Olası durum sayısı

Birden fazla olayın (örneğin torbadan art arda iki top çekilmesinin) olası durumları bu düzeyde ele alınmaz.

⚖️

"Daha Fazla", "Eşit", "Daha Az" Olasılıklı Olaylar

Bazı durumlarda hangi olayın gerçekleşme şansının daha fazla, daha az veya eşit olduğunu, herhangi bir hesaplama yapmadan, sezgisel olarak belirleyebiliriz.

Örnek — Daha Fazla

Okulumuzdaki tüm öğretmenlerin ve tüm öğrencilerin isimlerinin yazılı olduğu bir listeden rastgele çekilen bir ismin bir öğrenciye ait olma olasılığı, öğretmene ait olma olasılığından çok daha fazladır. Çünkü okulumuzdaki öğrenci sayısı, öğretmen sayısından çok daha fazladır.

Örnek — Eşit

15 kız ve 15 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı ile erkek olma olasılığı eşittir.

Aşağıdaki araçta bir sınıftaki kız ve erkek öğrenci sayılarını kaydırıcılarla belirleyin; hesaplama yapmadan, sezginizle hangi olasılığın daha fazla olduğunu tahmin edin.

Kız öğrenci sayısı12

Erkek öğrenci sayısı18

🎯

Eşit Şanslı Olaylar ve 1/n

Bir deneydeki her çıktının seçilme şansı birbirine eşitse, bu çıktılara eş olasılıklı denir. Eş olasılıklı n tane çıktısı olan bir deneyde her bir çıktının olasılık değeri \(\dfrac{1}{n}\)'dir. Buradaki n, olası durum sayısını temsil eder.

Dikkat: Çıktıların "eş olasılıklı" olması ile bir olayın olasılığının bir başka olayın olasılığına "eşit" olması farklı kavramlardır. Eş olasılıklı çıktılar, tek tek her bir çıktının kendisinin eşit şansa sahip olması anlamına gelir.

Aşağıdaki araçta dilim sayısını kaydırıcıyla değiştirin; çark eşit büyüklükte dilimlere ayrıldığı için her dilimin gelme olasılığı her zaman 1/n olur.

Dilim sayısı (n)6

Her dilimin olasılığı

—

Aşağıdaki çark ise eşit olmayan büyüklükte dilimlere ayrılmıştır; bu durumda her dilimin gelme şansı diğerlerinden farklıdır; dilimler eş olasılıklı değildir.

Bu çarkta A dilimine denk gelme olasılığı B ve C dilimlerine göre daha fazladır; çünkü A dilimi çark üzerinde daha büyük bir alan kaplamaktadır.

📏

Olasılık Değeri: 0 ile 1 Arası

Bir olayın olasılık değeri her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ve 1 dâhil). Gerçekleşmesi imkânsız olan bir olayın olasılığı 0, gerçekleşmesi kesin olan bir olayın olasılığı ise 1'dir.

Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1'dir: \(P(A) + P(A') = 1\)

Uygulama

Bir sınıfta 8 kız, 12 erkek öğrenci vardır. Rastgele seçilen öğrencinin kız olmama olasılığını bulunuz.

Toplam öğrenci sayısı: 8 + 12 = 20

Kız olma olasılığı: \(P(\text{kız}) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\)

Kız olmama olasılığı: \(1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\)

Sonuç: Kız olmama (yani erkek olma) olasılığı \(\dfrac{3}{5}\)'tir.

Aşağıdaki araçta bir olayın olasılık değerini kaydırıcıyla seçin; bu olayın gerçekleşmeme olasılığının nasıl değiştiğini ve olasılık değerinin sayı doğrusundaki yerini görün.

P(A) (%)%45

P(A)

—

P(A')

—

🧮

Basit Bir Olayın Olma Olasılığını Hesaplama

Bir olayın olma olasılığı, o olaya ait çıktı (istenen durum) sayısının, tüm olası durum sayısına oranıdır: \(P(A) = \dfrac{\text{istenen durum sayısı}}{\text{olası durum sayısı}}\)

Uygulama

Bir zar atıldığında tek sayı gelme olasılığını bulunuz.

Zarda yazan tüm sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → Olası durum sayısı: 6

Zardaki tek sayılar: 1, 3, 5 → İstenen durum sayısı: 3

Sonuç: \(P(\text{T}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

Bu derste ayrık olan ve olmayan, bağımlı ve bağımsız olayların olasılığına girilmez; birden fazla olayın (art arda gerçekleşen iki veya daha fazla olayın) olma olasılığı da ele alınmaz. Yalnızca tek bir deneyle ilgili basit olasılık hesaplanır.

Aşağıdaki araçta torbadaki renkli top sayılarını kaydırıcılarla, hedef rengi de butonla seçin; seçilen rengin gelme olasılığını canlı olarak görün.

Kırmızı top4

Mavi top6

Sarı top2

Olasılık

—

✏️

Çözümlü Örnekler (Kolaydan Zora)

Örnek 1

Bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

Zarda yazan tüm sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → Olası durum sayısı: 6

Zardaki çift sayılar: 2, 4, 6 → istenen durum sayısı: 3

Sonuç: \(P(\text{Ç}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

Örnek 2

Bir torbada 4 kırmızı, 6 sarı top vardır. Rastgele çekilen topun sarı olma olasılığı kaçtır?

Toplam top sayısı: 4 + 6 = 10

Sarı top sayısı: 6

Sonuç: \(P(\text{S}) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\)

Örnek 3

1'den 20'ye kadar numaralanmış kartlardan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının 3'ün katı olma olasılığı kaçtır?

Olası durum sayısı: 20

3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18 → İstenen durum sayısı: 6

Sonuç: \(P(\text{3}) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\)

Örnek 4

Bir torbada sarı, kırmızı ve mavi renkte toplam 24 top vardır. Sarı topların sayısı kırmızı topların 2 katı, mavi topların sayısı ise sarı topların yarısı kadardır. Torbadan çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Kırmızı top sayısı k olsun. Sarı top sayısı 2k, mavi top sayısı ise sarının yarısı, yani k'dir.

Toplam: k + 2k + k = 4k = 24 → k = 6

Mavi top sayısı k = 6'dır.

Sonuç: \(P(\text{M}) = \dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}\)

Örnek 5

Bir torbada bulunan 20 topun bir kısmı yeşil, geri kalanı turuncu renklidir. Torbadan rastgele çekilen bir topun yeşil olma olasılığı, turuncu olma olasılığının 3 katına eşittir. Torbadaki turuncu top sayısı kaçtır?

Yeşil olma olasılığı 3 kat ise, yeşil sayısı da 3 kattır.

Turuncu top sayısına m dersek, yeşil top sayısı 3m olur.

Toplam m + 3m = 4m → 4m = 20 top → m = 5 top.

Sonuç: Turuncu topların sayısı 5'tir.

Örnek 6

"MATEMATİK" kelimesindeki her harf eş büyüklükteki ayrı bir karta yazılıp bir torbaya atılıyor (tekrar eden harfler için ayrı ayrı kart hazırlanmıştır). Torbadan rastgele çekilen bir kartta "A" harfinin yazılı OLMAMA olasılığı kaçtır?

Torbaya atılan kartlar: M, A, T, E, M, A, T, İ, K → olası durum sayısı 9.

İstenen kartların sayısı: 2

"A" gelme olasılığı: \(P(A) = \dfrac{2}{9}\) → "A" olmama olasılığı: \(P(A')\) = \(1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}\)'dur.

Sonuç: "A" harfinin yazılı olmama olasılığı \(\dfrac{7}{9}\)'dur.

📝

Çalışma Soruları

1) Bir para atıldığında yazı gelme olasılığı kaçtır?

2) 1'den 10'a kadar numaralı kartlardan rastgele çekilen kartın asal sayı olma olasılığı kaçtır?

3) Bir sınıfta 30 öğrenci vardır. Bu öğrencilerin 18'i futbol, kalanı ise basketbol oynamaktadır (her öğrenci yalnızca bir spor dalıyla ilgilenmektedir). Rastgele seçilen bir öğrencinin basketbol oynama olasılığı kaçtır?

Boşluğu doldurun (kesir olarak, "a/b" biçiminde yazınız):

Bir zarın 6 gelme olasılığı (sadeleştirilmiş):

5 kırmızı, 3 sarı, 2 yeşil toplu torbadan kırmızı OLMAYAN top çekilme olasılığı:

Doğru mu, yanlış mı?

Bir olayın olasılık değeri her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ve 1 dâhil).

İmkânsız bir olayın olasılığı 1'dir.

Bir zarın atılması deneyinde 7 gelmesi imkânsız bir olaydır.

Eş olasılıklı olaylarda her çıktının gerçekleşme şansı farklıdır.

📌

Özet

Bir olaya ait olası durumlar, o deneydeki tüm çıktılardır; bu derste yalnızca tek bir deneyle ilgili olası durumlar belirlenir.

Bazı olaylar, hesaplama yapmadan sezgisel olarak "daha fazla", "eşit" veya "daha az" olasılıklı olarak karşılaştırılabilir.

Eşit şansa sahip (eş olasılıklı) n çıktısı olan bir deneyde her bir çıktının olasılığı \(\dfrac{1}{n}\)'dir.

Bir olayın olasılık değeri 0 (imkânsız) ile 1 (kesin) arasındadır; bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı her zaman 1'dir.

Basit bir olayın olma olasılığı, \(P(A) = \dfrac{\text{istenen durum sayısı}}{\text{olası durum sayısı}}\) formülüyle hesaplanır.

Kavram	Açıklama
Deney / Çıktı	Rastgele işlem ve onun her bir sonucu
Olay	Belirli çıktı veya çıktılardan oluşan durum
Eş olasılık	Her çıktının seçilme şansının eşit olması
İmkânsız olay	Olasılığı 0 olan olay
Kesin olay	Olasılığı 1 olan olay

M.8.5.1 kapsamı: Ayrık olan/olmayan, bağımlı/bağımsız olayların olasılığına ve birden fazla olayın olma olasılığına bu derste girilmez; yalnızca tek bir deneyle ilgili basit olasılık ele alınır.

🏆

Kendini Dene