➡️
Öteleme Nedir?
Öteleme (Ötelenme): Bir şeklin, her noktasının aynı yönde ve aynı uzaklıkta kaydırılmasıyla elde edilen dönüşümdür.
Öteleme; kaç birim sağa/sola ve kaç birim yukarı/aşağı kaydırıldığıyla tanımlanır.
Örnek: 3 birim sağa, 2 birim yukarı
Öteleme; kaç birim sağa/sola ve kaç birim yukarı/aşağı kaydırıldığıyla tanımlanır.
Örnek: 3 birim sağa, 2 birim yukarı
Ötelemenin Özellikleri:
✔ Her nokta aynı yönde, aynı uzaklıkta hareket eder.
✔ Şekil ile görüntüsü eştir — boyut ve biçim değişmez.
✔ Şeklin yönü değişmez (döndürme yapılmaz).
✔ Koordinat düzleminde her noktanın x ve y değerleri aynı miktarda değişir.
✔ Her nokta aynı yönde, aynı uzaklıkta hareket eder.
✔ Şekil ile görüntüsü eştir — boyut ve biçim değişmez.
✔ Şeklin yönü değişmez (döndürme yapılmaz).
✔ Koordinat düzleminde her noktanın x ve y değerleri aynı miktarda değişir.
📍 Koordinatta Öteleme Kuralı
Bir noktayı a birim sağa, b birim yukarı ötelemek için:
Yeni x = Eski x + a · Yeni y = Eski y + b
Örnek: A(2, 3) noktası 4 birim sağa, 1 birim aşağı ötelenirse → A'(2+4, 3−1) = A'(6, 2)
🔃
Yansıma Nedir?
Yansıma (Simetri): Bir şeklin, belirli bir doğruya (simetri doğrusu) göre ayna görüntüsünün alınmasıdır.
Yansımada her nokta ile görüntüsü: simetri doğrusuna dik ve simetri doğrusuna eşit uzaklıkta olur.
Yansımada her nokta ile görüntüsü: simetri doğrusuna dik ve simetri doğrusuna eşit uzaklıkta olur.
Yansımanın Özellikleri:
✔ Karşılıklı noktalar simetri doğrusuna dik uzaklıkta bulunur.
✔ Karşılıklı noktalar simetri doğrusuna eşit uzaklıktatır.
✔ Şekil ile görüntüsü eştir — boyut ve biçim değişmez.
✔ Simetri doğrusu üzerindeki noktalar yerinde kalır.
✔ Karşılıklı noktalar simetri doğrusuna dik uzaklıkta bulunur.
✔ Karşılıklı noktalar simetri doğrusuna eşit uzaklıktatır.
✔ Şekil ile görüntüsü eştir — boyut ve biçim değişmez.
✔ Simetri doğrusu üzerindeki noktalar yerinde kalır.
📍
Koordinat Eksenlerine Göre Yansımax eksenine göre yansıma
A(x, y) → A'(x, −y)
x koordinatı değişmez,
y koordinatı işareti değişir.
x koordinatı değişmez,
y koordinatı işareti değişir.
y eksenine göre yansıma
A(x, y) → A'(−x, y)
y koordinatı değişmez,
x koordinatı işareti değişir.
y koordinatı değişmez,
x koordinatı işareti değişir.
Simetri doğrusu üzerindeki nokta: Bir nokta simetri doğrusu üzerindeyse yansıtma sonucunda yerinde kalır. Örneğin x eksenine göre yansımada y=0 olan noktalar değişmez.
🔄
Ardışık Dönüşümler
Bir şekle iki ardışık öteleme veya yansıma uygulanabilir. Her seferinde önceki görüntü yeni başlangıç noktası olur.
İki ardışık öteleme
1. öteleme: 3 birim sağa
2. öteleme: 2 birim sağa, 1 birim yukarı
Net etki: 5 birim sağa, 1 birim yukarı
Ötelemeler birleştirilebilir.
2. öteleme: 2 birim sağa, 1 birim yukarı
Net etki: 5 birim sağa, 1 birim yukarı
Ötelemeler birleştirilebilir.
Öteleme + Yansıma
Önce öteleme yapılır,
ardından yansıma uygulanır
(ya da tersi).
Her adım ayrı hesaplanır.
ardından yansıma uygulanır
(ya da tersi).
Her adım ayrı hesaplanır.
⚡ Her iki dönüşümde de
Şekil ile son görüntüsü daima eştir. Öteleme ve yansıma boyutu, kenarları, açıları değiştirmez.
🎨
Desen ve Motiflerde Dönüşümler
Geleneksel sanatlarımızda (çini, seramik, dokuma, kilim) kullanılan desenler çoğunlukla öteleme ve yansıma dönüşümleriyle oluşturulmuştur.
Bir desende dönüşümleri tanıma:
✦ Motif kayıyorsa ve aynı yönde tekrar ediyorsa → Öteleme
✦ Motif ayna görüntüsü gibi karşılıklıysa → Yansıma
✦ Her ikisi de kullanılmış olabilir.
✦ Motif ayna görüntüsü gibi karşılıklıysa → Yansıma
✦ Her ikisi de kullanılmış olabilir.
Örnek 1Nokta ötelemesi
Soru:A(2, 3) noktası 5 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelenirse A' nerede olur?
1.5 birim sağa → yeni x = 2 + 5 = 7
2.2 birim aşağı → yeni y = 3 − 2 = 1
✓ A'(7, 1)
Örnek 2Doğru parçası ötelemesi
Soru:A(1, 4) ve B(4, 1) noktaları arasındaki doğru parçası 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenirse A' ve B' nerede olur?
1.A(1,4) → 3 birim sağa, 2 birim yukarı → A'(1+3, 4+2) = A'(4, 6)
2.B(4,1) → 3 birim sağa, 2 birim yukarı → B'(4+3, 1+2) = B'(7, 3)
3.A'B' doğru parçası AB ile eştir — uzunluğu değişmez.
✓ A'(4, 6) ve B'(7, 3)
Örnek 3x eksenine göre yansıma
Soru:P(4, 3), Q(−2, 5) ve R(0, −1) noktalarını x eksenine göre yansıtınız.
1.x eksenine göre yansımada kural: (x, y) → (x, −y)
2.P(4, 3) → P'(4, −3)
3.Q(−2, 5) → Q'(−2, −5)
4.R(0, −1) → R'(0, 1) [y değeri 0 olmadığından yer değişir]
✓ P'(4, −3) · Q'(−2, −5) · R'(0, 1)
Örnek 4Simetri doğrusu üzerindeki nokta
Soru:K(3, 0) noktası x eksenine göre yansıtıldığında görüntüsü nerede olur? Neden?
1.K(3, 0) noktası x ekseni üzerindedir (y=0).
2.Kural: (x, y) → (x, −y) → K'(3, −0) = K'(3, 0)
3.Simetri doğrusu üzerindeki noktalar yansıtılınca yerinde kalır.
✓ K'(3, 0) — Nokta yerinde kalır.
Örnek 5Üçgenin ötelenmesi
Soru:Köşeleri A(−3, 1), B(−1, 1), C(−2, 4) olan üçgen 4 birim sağa ve 3 birim aşağı ötelenirse görüntü köşeleri nerede olur?
1.A(−3,1) → 4 sağa, 3 aşağı → A'(−3+4, 1−3) = A'(1, −2)
2.B(−1,1) → 4 sağa, 3 aşağı → B'(−1+4, 1−3) = B'(3, −2)
3.C(−2,4) → 4 sağa, 3 aşağı → C'(−2+4, 4−3) = C'(2, 1)
4.△A'B'C' △ABC ile eştir — boyut ve şekil değişmez.
✓ A'(1, −2) · B'(3, −2) · C'(2, 1)
Yükleniyor...
Doğru seçeneği işaretle
📋
Hızlı ÖzetÖteleme
Her nokta aynı yön ve uzaklıkta hareket eder. Kaç birim sağa/sola ve yukarı/aşağı kaydırıldığıyla tanımlanır.
Yansıma
Her nokta simetri doğrusuna dik ve eşit uzaklıkta görüntülenir.
x Eksenine Yansıma
(x, y) → (x, −y) — x değişmez, y işareti tersine döner.
y Eksenine Yansıma
(x, y) → (−x, y) — y değişmez, x işareti tersine döner.
Her İkisinde de Eşlik
Öteleme ve yansımada şekil ile görüntüsü daima eştir.
Ardışık Dönüşümler
En çok iki dönüşüm uygulanır. Her adım bir öncekinin görüntüsünden başlar.
Simetri doğrusu üzerindeki bir nokta yansıtıldığında yerinde kalır. Koordinat sisteminde öteleme miktarını noktanın koordinatlarına eklemek yeterlidir — her noktaya aynı işlem uygulanır.